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算术和数学素养:一样吗?
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我想回到流行 纽约时报杂志 文章“为什么美国人会在数学上发臭?可以看出,日本学生的平均PISA分数比美国学生高,这是因为他们在日本如何更好地教授数学。 根据文章,通用核心现在为我们提供了另一个更好地教授数学的机会。 但是,美国教师一直未能利用教育理论家提供的机会:

这不是美国人第一次想到一种更好的数学教学方法,然后又没有实现它。 1960年代也发生了同样的情况,当时一个被人造卫星之后的自卑感所困扰的学校推出了一个雄心勃勃的“新数学”,几年后才发现实际上没有任何改变。 实际上,引入更好的数学教学方法的努力可以追溯到1800年代。 每次的故事都是一样的:大而激动的推动,接着是群众的困惑,然后又回到了常规做法。

您会发现,这并不是过去的数学风潮失败了,而是他们从未真正尝试过。

实际上,“新数学”大多失败了,因为这是数学教授尝试设计的课程,对希望创建新数学教授的数学教授有意义的。 但是,对学生来说,这是重复的(从1965年至1970年XNUMX月,我不得不在每本数学教科书的第一章中学习数字线),既无聊又毫无意义。 Number Line并没有采取任何措施帮助我思考有关棒球统计数据的更有趣的想法。

当老师被告知在没有太多指导的情况下将创新思想付诸实践时,麻烦总是会开始的。 在没有准备的老师的手中,改革变成了胡说八道,使学生困惑的多于帮助他们。

麻烦始于当Powers Be Be采用推销员的口吻来推销数学的一种全新方法而又不让他先在真正的学生身上进行测试时,麻烦就开始了。 我们拥有共同核心的原因不是因为它获得了涉及真正学生的I,II和III期实验。 它是 决不要 在推出之前进行了测试。

不,我们拥有共同核心,因为大卫·科尔曼给比尔·盖茨的印象远不如典型的教育理论家那么愚蠢,所以盖茨贿赂了教育机构,以追赶科尔曼的孩子,使之成为一个 既成事实 在任何人有机会问之前:“我们不应该先测试一下吗?” (请记住,与其他大多数垃圾邮件相比,我对Common Core相对乐观。如果我们的国家让一个人根据自己的想法控制教育,那么Bill Gates将会是最不坏的选择之一那个家伙。)

精心教授的作业可以帮助使数学更具体。 学生不仅记住自己的时间表和加法事实,还了解算术的工作原理以及如何将其应用于现实生活中。 但是实际上,大多数老师没有做好准备,孩子们感到困惑,使父母大为恼火。

本段反映了当今教育机构关于过去到上周的世界观。 直到昨天,孩子们被迫完全笔直地坐在他们的书桌上,吟着时间表,当他们犯错时,他们被用尺子砸在指关节上。 这就是为什么学生“只记住时间表和其他事实”而不是发展批判性思维技巧和对社会公正的关注的原因。

当然,实际上,这些天的大部分学生都无法记住自己的时间表和其他事实。

换句话说,自由主义者完全忘却了他们如何长期,长期地进行教育。

例如,我和修女一起去了一所天主教的天主教学校,在1960年代中期仍在进行一些节拍。 但是,当我在7年升到圣弗朗西斯·德·塞勒斯(St. Francis de Sales)的1970年级时,年轻的老师们发动了一场政变,并组织了一个更有意义的初中教学集体。 据我所记得,我在1970-72年间的大部分学习都是在课堂上听来自 修道院路,Deja Vu,头发,“耶稣基督超级巨星 例如符号和隐喻的例子,围成一个圈,围绕亨德里克斯,乔普林和莫里森的死如何振奋我们的声音。

这是在一所主教学校。 那些年我去公开学校密立根初中读暑假,看起来像 茫然和困惑。 诚然,圣弗朗西斯·德·塞勒斯(St. Francis de Sales)就在日落大道(Sunset Strip)的冷水峡谷(Coldwater Canyon)上方,所以我们可能比该国其他地区领先一两年,但是您的初中可能在一半的时间内经历了相同的变化十年。

让我重复一遍 纽约时报 如果教育理论家获得全额资助,情况将如何改善的说明:

学生不仅记住自己的时间表和加法事实,还了解算术的工作原理以及如何将其应用于现实生活中。

看,强迫学生记住自己的时间表和加法事实(例如6 + 7 = 13)并不是当前的自由运行制最擅长的事情。 对老师来说很无聊。 但是,您一定不能在不立即意识到并真正确信6 + 7 = 13的情况下将算术应用于实际情况。

至于“了解算术是如何工作的”,那么,这是一个兔子洞,其中不止几个 最伟大的头脑 19世纪后期和20世纪初,下降了:

“根据这个命题,当定义了算术加法后,将得出1 + 1 = 2。”

在第。 第I卷的379 Principia Mathematica 由贝特朗·罗素(Bertrand Russell)和阿尔弗雷德·北怀特海德(Alfred North Whitehead)于1910年撰写。(我实际上并未阅读过前378页。)

如何使用数学和如何进行数学运算之间是有区别的。 但是关于美国人为什么对数学发恶臭的文章似乎没有提到这一点:

60年代的新数学,80年代的新数学和当今的Common Core数学都源于这样的观念,即传统的数学教学方法根本行不通。 作为一个国家,我们遭受了疾病的困扰,坦普尔大学的数学教授,作家约翰·艾伦·保洛斯(John Allen Paulos)称数学无能为力。 在国家考试中,将近三分之二的四年级和八年级学生不精通数学。 参加2013年国家教育进步评估的四年级学生中,超过一半的人无法在整齐画出的温度计上准确读取温度。 (他们不知道每个哈希标记代表的是46度而不是43度,导致许多学生将XNUMX度误认为XNUMX度。)

我可以建议算术和数学不一定是同一回事。 例如,1960年代的《新数学》绝对不是要强调木匠所需要的那种实用的算术能力。 目的是使学生在更高,更抽象的数学形式上变得更好,这些形式将构成其大学和研究生数学课程的基础,使最聪明的学生取得在冷战中赢得技术竞争所必需的理论突破和/或为数学教授培养更好的研究生。

通常,计算能力和抽象的较高数学技能是相关的,就像协调能力和阅读音乐的能力相关。 但是很多明星音乐家都不擅长阅读音乐。 例如,这是 15位吉他手 不会读乐谱的人,包括约翰·列侬,吉米·亨德里克斯,埃里克·克莱普顿和埃迪·范·哈伦。 类似,来自Wikipedia,关于披头士乐队的歌曲“黄金沉睡“ 上 艾比路:

“沉睡的黄金”是根据诗作“摇篮歌”,是戏剧家托马斯·德克(Thomas Dekker)创作的摇篮曲。 这首诗出现在德克(Dekker)的1603喜剧片中 病人咬伤。 麦卡特尼在他父亲在利物浦的家中为德克的催眠曲看了乐谱,由他的继母露丝(Ruth)留在钢琴上。 由于无法阅读音乐,他创作了自己的音乐。

我的印象是,尽管麦卡特尼(McCartney)缺乏音乐素养,但他的算术能力相当出色,他可能会在头顶上告诉你他每年对“金睡梦”(Golden Slumbers)的特许权使用费,以及在保罗角力之前,Yo子洋子(Yoko)赚了多少钱。权利归还。 (我对“金沉睡者”一无所知,但是在一段时间里,保罗的“昨天”的版税中有100%属于Yoko,这笔款项无疑是刻在保罗的灵魂里的。)

根据专家的低标准,甚至是MBA的较高标准,我都很算算。 我可以做算术特技,例如计算脑海中的加权平均值。 但是我让我的妻子帮助我的儿子们上高中的数学,因为所有这些东西都在我头上。 对我来说太抽象了。 我不喜欢代表不同事物的变量,我喜欢代表真实事物的数字。 如果我不太喜欢使用实际数字,那么我可能会更关心使用假数字。

但是,与大多数人不同,我不建议孩子们像我一样。 但是,我认为在《纽约时报》上对教育进行理论分析的人们至少应该尝试意识到这些折衷。

在相同的多项选择题测试中,四分之三的四年级学生无法将一个简单的单词问题转化为一个女孩,该女孩在周六售出15杯柠檬水,在周日售出两倍于柠檬水,其表达方式为“ 15 +(2×15)”。 ” 即使在马萨诸塞州(美国表现最好的州之一),数学系学生也比上海的数学系学生落后两年多。

成年并不能减轻我们在数量上的不足。 2012年进行的一项研究比较了16个国家的65至20岁的年轻人,发现美国人的算术能力排名倒数第五。 在1到5的等级中,其中29%的得分为1级或以下,这意味着他们可以进行基本的算术运算,但不能进行需要两个或更多步骤的计算。

这项针对PISA成年人的PIAAC测试表明,与欧洲和东北亚的其他富裕国家相比,移民和黑人正在使美国的分数大大下降。 来自 “纽约时报” 去年 :

这项新的研究表明,在美国出生的外国成年人的技能要比平均水平差得多,但即使是在当地出生的成年人,其得分也略低于国际标准。 白人美国人的读写能力好于多国平均水平,但在数学和技术测试中却接近平均水平。

纽约时报杂志 本文假定计算能力与理解数学的工作原理相同。 例如,根据这篇文章,在反动的美国与进步的日本形成对比,

学生学习的不是数学,而是用一位数学教育家的话讲答案。 例如,教师没有告诉学生要减去分数的实质,而是告诉学生画蝴蝶并沿对角线翅膀相乘,添加天线,最后根据需要进行简化。 在一堂课中遇到问题时,获得答案的策略可能会很好地为他们服务,但是一周之后,他们就会忘记了。 而且,学生常常不知道如何将特定问题的策略应用于新问题。

相比之下,巴西的街头流浪儿童非常了解并了解其中的本质:

但是我们的精打细算并不是不可避免的。 在1970年代和1980年代,认知科学家研究了一个人口,即未受教育的人口,这些人口很少或没有正规教育。 心理学家西尔维亚·斯克里伯纳(Sylvia Scribner)在观察80年代巴尔的摩一家乳品厂的工人时指出,即使是基本任务也需要大量的数学运算。 例如,许多负责将夸脱和加仑的牛奶装到板条箱中的工人,其教育程度都不超过六年级。 但是他们能够进行数学运算,以便有效地组合负载,“等于在不同的基本数字系统之间转换”。 在所有这些心理计算中,“几乎不存在错误”。 但是,当这些工人病了,而牛奶店受过良好教育的上班族填补了他们,生产力就下降了。

未受过教育的人可能比专门受过教育的人更有能力进行复杂的数学运算,但是在学校里,他们被已经知道的数学所束缚。 对巴西儿童的研究表明,这些儿童通过在街头卖烤花生和椰子的街道上漫游来帮助养家糊口,他们发现,孩子们例行地解决了头脑中的复杂问题,以计算账单或进行零钱。 然而,当认知科学家向孩子们提出同样的问题时,这次是用笔和纸时,他们迷迷糊糊了。 后来在纸上给了一个问题,这个12岁的男孩准确地计算了35个克鲁塞罗的四个椰子的价格。 错误地使用了他在学校所教的乘法方法,他得出了错误的答案。 同样,当斯克里布纳(Scribner)使用数学课的语言为她的乳制品工人进行测试时,他们的平均成绩约为64%。 认知科学研究表明,美国人人数众多的一个令人震惊的原因是:学校。

但是,毫无疑问,做出改变的贫民窟的孩子们并不理解算术的“本质”,并不是说贝特朗·罗素(Bertrand Russell)理解算术的本质。 他们有经验法则,可以很好地完成任务。 但是,他们的技术并不一定可以推广。 他们的变革技巧不会使他们通过Algebra II,现在美国某些地区的高中毕业需要使用Algebra II。

因此,在现实世界中,灌输进行改变的计算能力,并使所有学生通过代数II,对于大约一半的人口来说,这是有些矛盾的目标。 我不知道解决这种部分权衡的最佳方法是什么。 但是可以肯定的第一步是能够公开承认存在折衷。

 
• 类别: 科学 •标签: 美国媒体, 教育, 数学 
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  1. 我的妻子说,菲律宾的市场人员在计算一公斤的分数时遇到了很多麻烦,等等。他们对固定的数量有固定的价格。 如果你要 1/4,他们不知道价格。

    • 回复: @匿名的
    @外国专家

    在菲律宾环境中

    这就是为什么中国人在数学上比菲律宾人好:在他们就读的私立学校,那里的学校教的数学是普通菲律宾人在公立和私立学校的两倍——早上的英语数学,早上的中国数学下午。

    回复:@dixie

  2. 最可悲的一个 [又名“启示录的第四位门卫”] 说:

    我选择C:

  3. 最可悲的一个 [又名“启示录的第四位门卫”] 说:

    未受过教育的人可能比专门教授数学的人更有能力学习复杂的数学,但在学校的背景下,他们被他们已经知道的数学所阻碍。 对巴西儿童的研究表明,这些儿童通过在街上兜售烤花生和椰子来帮助养家糊口,研究表明,孩子们经常在头脑中解决复杂的问题来计算账单或做出改变。

    因此,要接触这些天真的数学家,我们需要做的就是将微积分和轨道力学中的问题重铸成改变的同构问题。

    简单的。 我可以缩小成就差距。

    我现在可以骗几十亿吗?

    • 回复: @安安农
    @最可悲的一个

    “将微积分和轨道力学中的问题重铸为改变的同构问题。” - 一旦你这样做,你的数十亿。

  4. 说到你的妻子,她有没有新厨房?

    • 回复: @史蒂夫·塞勒
    @雷姐姐

    相同的旧厨房,但感谢 iSteve 评论者,现在有一台符合 ADA 标准(即更短)的洗碗机,可以安装在旧柜台下。 她说谢谢。

  5. 我可以建议算术和数学不一定是一回事。 例如,1960 年代的新数学绝对不是为了强调木匠需要的那种实用计算能力。 它的目的是让学生更好地掌握更高、更抽象的数学形式,这些数学形式将成为他们大学和研究生数学的基础,让最聪明的学生能够取得理论突破,从而有助于赢得冷战中的技术竞争。

    我记得我的代数 II/Trig 老师在课堂的最后一天免费向我们解释信用卡和其他现实世界的数学,因为我们已经完成了所有的课程内容。 我记得想知道为什么他们不总是这样教数学。 并不是说其中任何一个都涉及代数 II 或 Trig。

    我喜欢代表真实事物的数字。

    事实上,这是让男孩对数学感兴趣的方法。 就数学能力而言,女孩可能落后于男孩,但一旦权威说“你必须学习这个”,她们就会自动受到激励。 男孩需要有一个感兴趣的理由。 给他们现实世界中吸引他们的例子(炮击、飙车、拆除炸弹、拆除、赚钱等,不分享水果等),你就有更好的机会吸引他们的兴趣。

    在同一个多项选择题测试中,四分之三的四年级学生无法将一个简单的单词问题翻译成“15 + (15×2)”这个表达方式,即一个女孩在周六卖了 15 杯柠檬水,在周日卖了两倍的柠檬水。 ”

    繁荣:“卖柠檬水的女孩-” zzzzzzzzzzzzzz ......

    卖法拉利怎么样? AR-15? 快艇?

    老师告诉学生画蝴蝶

    叫他们拔剑怎么样? 战斗机?

    柠檬水、蝴蝶、zzzzzzzzzzzzzzzz……

    • 回复: @汉斯登
    @斯维格

    在战斗的第一天,你的排就遭受了 25% 的伤亡。 然而,在战斗的第二天,你造成的伤亡人数是第一天的两倍。 给定一个排有 24 人的兵力,你受了多少伤亡,造成了多少伤亡?

    男孩们每次都会做对。

  6. @雷姐姐
    说到你的妻子,她有没有新厨房?

    回复:@Steve Sailer

    相同的旧厨房,但感谢 iSteve 评论者,现在有一台符合 ADA 标准(即更短)的洗碗机,可以安装在旧柜台下。 她说谢谢。

  7. “因此,要接触这些天真的数学家,我们需要做的就是将微积分和轨道力学中的问题重铸成改变的同构问题。”

    这很容易,你投票给奥巴马!

  8. “一般来说,计算能力和抽象的高等数学技能相互关联,就像协调能力和阅读音乐的能力相互关联一样。 但是很多明星音乐人不擅长阅读音乐。 例如,这里列出了 15 位无法阅读乐谱的吉他手,包括 John Lennon、Jimi Hendrix、Eric Clapton 和 Eddie Van Halen。”

    有几点。

    来自音乐世家的半专业音乐家(也是您的长期读者)的长期吉他手,并且实际上可以阅读音乐。 半职业,我的意思是一些挣钱来演奏音乐的人,但不是全职的(只是在周末为婚礼演奏,在当地俱乐部等……)。

    一群伟大的吉他手不会读音乐并不奇怪。 不久前,我和一位音乐教授谈论了一些我和我一起演奏过的音乐家和一些我有过的音乐学生。 我提到与我一起演奏的一位吉他手具有“完美的音调”,在听过一首歌后,即使他不懂任何音乐理论(他几乎没有知道他正在演奏的音符的名称)或如何阅读音乐(据说吉他手最终成为了生物学家 IIRC)。

    他说他并不惊讶,他说这样的人大概在音乐能力的前2%到4%。 显然,您可以通过音乐教育者进行的音乐智商考试来确定您的能力。 据他介绍,根据音乐教育期刊上发表的论文,一些专业的流行和摇滚音乐家在考试中的得分相当低。 大声笑……并不惊讶(让我们面对很多流行和摇滚音乐并不是很有挑战性)。

    他同意我的观点,对于一些音乐天才来说,在一张纸上符号化的音符只是不必要的,因为它们只是一些声音的中间符号表示,音乐天才的人可以直接和发自内心地体验和回忆,没有问题. 书面音乐是传达音乐信息的好方法,但对于音乐天才来说,这似乎没有必要。

    如果列侬、亨德里克斯、克莱普顿和范海伦像我曾经一起玩过的吉他手一样在前 2% 到 4% 或更高的位置,我不会感到惊讶。 他们当然都是非常有创造力和杰出的音乐家,而且可能每个人都以自己的方式成为音乐天才。

    • 回复: @史蒂夫·塞勒
    @塞内卡

    我在 8 岁左右上过一年的钢琴课,我非常擅长从纸上阅读音乐,就像我在阅读纸上的文字一样。 但这只是一种机械技能,对我微不足道的自然音乐技能没有任何帮助。

  9. 不要忘记汤姆·莱赫(Tom Leher)关于“原始”新数学的经典讽刺歌曲:

  10. @塞内卡
    “一般来说,计算能力和抽象的高等数学技能是相关的,就像和声能力和阅读音乐的能力相关一样。但是很多明星音乐家都不擅长阅读音乐。例如,这里有 15 位吉他手的名单,他们不能阅读乐谱,包括约翰列侬、吉米亨德里克斯、埃里克克莱普顿和埃迪范海伦。”

    有几点。

    来自音乐世家的半专业音乐家(也是您的长期读者)的长期吉他手,并且实际上可以阅读音乐。 半职业,我的意思是一些挣钱来演奏音乐的人,但不是作为一个全职职业(只是在周末为婚礼演奏,在当地俱乐部等……)。

    一群伟大的吉他手不会读音乐并不奇怪。 不久前,我和一位音乐教授谈论了一些我和我一起演奏过的音乐家和一些我有过的音乐学生。 我提到与我一起演奏的一位吉他手有“完美的音调”,在听过一首歌后,即使他不懂任何音乐理论(他几乎没有知道他正在演奏的音符的名称)或如何阅读音乐(据说吉他手最终成为了生物学家 IIRC)。

    他说他并不惊讶,他说这样的人大概在音乐能力的前2%到4%。 显然,您可以通过音乐教育者进行的音乐智商考试来确定您的能力。 据他介绍,根据音乐教育期刊上发表的论文,一些专业的流行和摇滚音乐家在考试中的得分相当低。 大声笑...并不惊讶(让我们面对很多流行和摇滚音乐并不是很有挑战性)。

    他同意我的观点,对于一些音乐天才来说,在一张纸上符号化的音符只是不必要的,因为它们只是一些声音的中间符号表示,音乐天才的人可以直接和发自内心地体验和回忆,没有问题. 书面音乐是传达音乐信息的好方法,但对于音乐天才来说,这似乎没有必要。

    如果列侬、亨德里克斯、克莱普顿和范海伦像我曾经一起玩过的吉他手一样在前 2% 到 4% 或更高的位置,我不会感到惊讶。 他们当然都是非常有创造力和杰出的音乐家,而且可能每个人都以自己的方式成为音乐天才。

    回复:@Steve Sailer

    我在 8 岁左右上过一年的钢琴课,我非常擅长从纸上阅读音乐,就像我在阅读纸上的文字一样。 但这只是一种机械技能,对我微不足道的自然音乐技能没有任何帮助。

  11. “一般来说,计算能力和抽象的高等数学技能相互关联,就像协调能力和阅读音乐的能力相互关联一样。 但是很多明星音乐人不擅长阅读音乐。 例如,这里列出了 15 位无法阅读乐谱的吉他手,包括 John Lennon、Jimi Hendrix、Eric Clapton 和 Eddie Van Halen。”

    有几点。

    来自音乐世家的半专业音乐家(也是您的长期读者)的长期吉他手,并且实际上可以阅读音乐。 半职业,我的意思是一些挣钱来演奏音乐的人,但不是全职的(只是在周末为婚礼演奏,在当地俱乐部等……)。

    一群伟大的吉他手不会读音乐并不奇怪。 不久前,我和一位音乐教授谈论了一些我和我一起演奏过的音乐家和一些我有过的音乐学生。 我提到与我一起演奏的一位吉他手具有“完美的音调”,在听过一首歌后,即使他不懂任何音乐理论(他几乎没有知道他正在演奏的音符的名称)或如何阅读音乐(据说吉他手最终成为了生物学家 IIRC)。 我还提到我有一个年轻的吉他学生,他有类似的能力,可以听到一次并且能够在没有乐谱帮助的情况下弹奏它。

    他说他并不惊讶,他说这样的人大概在音乐能力的前2%到4%。 显然,您可以通过音乐教育者进行的音乐智商考试来确定您的能力。 据他介绍,根据音乐教育期刊上发表的论文,一些专业的流行和摇滚音乐家在考试中的得分相当低。 大声笑……并不惊讶(让我们面对很多流行和摇滚音乐并不是很有挑战性)。

    他同意我的观点,对于一些音乐天才来说,在一张纸上符号化的音符只是不必要的,因为它们只是一些声音的中间符号表示,音乐天才的人可以直接和发自内心地体验和回忆,没有问题. 书面音乐是传达音乐信息的好方法,但对于音乐天才来说,这似乎没有必要。

    如果列侬、亨德里克斯、克莱普顿和范海伦像我曾经一起玩过的吉他手一样在前 2% 到 4% 或更高的位置,我不会感到惊讶。 他们当然都是非常有创造力和杰出的音乐家,而且可能每个人都以自己的方式成为音乐天才。

  12. 正如无数人所说,世上有三种人,会数的人和不会数的人。

  13. 最可悲的一个 [又名“启示录的第四位门卫”] 说:

    卖法拉利怎么样? AR-15? 快艇?

    我最近遇到了一种巧妙的方法,可以让一些男孩对学习他们的三角恒等式感兴趣。

    超外差式无线电接收器!

    cos(A)cos(B) = 1/2(cos(A+B) + cos(AB)) ... 然后他们会查看需要什么滤波以及它如何让您恢复调制信号 ... 等等。

    我相信它会起作用的!

    而且,这比投票给奥巴马要好。

  14. 实际上,新数学大部分失败了,因为它是数学教授试图设计一门对想要培养新数学教授的数学教授有意义的课程。

    这其实是一种误解。 新数学与一般数学教授对数学的看法以及他们认为应该如何教授和学习数学完全不同。 实际上,数学家对数学的看法和方法远没有人们普遍认为的那么严格。 普遍的看法是,数学的严谨、正式的表达本身就是一种方法,而不仅仅是数学的表达,数学家基本上坐在办公桌前盯着公理,直到定理神奇地开始涌现。 这与现实生活中的实际数学实践完全不同。

  15. 解决应用题需要一个“g”水平,不是每个人都有也不能教。 像蝴蝶这样的算法是可以教授的,对那些无法自己解决问题的人很有用。

    因此,我比大多数人更喜欢算法学习。 你不能让人们变得更聪明,但你可以教他们如何解决特定类型的问题。 超级天才将能够在他的脑海中整合像 x^2 tan(x) 这样的表达式。 我们这些凡人需要分部整合。

    • 回复: @jim
    @幕后花絮

    你的意思是 x tan^2(x) 吗?

  16. 当时我还是一名小学生,我也陷入了 60 年代的新数学热潮。 绝对同意史蒂夫的观点,即数学老师对此有困难。 也许从现在起 20 年后的教师将教授比特币的深奥基础或数据服务器场的热力学。

  17. 学生不仅记住自己的时间表和加法事实,还了解算术的工作原理以及如何将其应用于现实生活中。

    算术最终如何运作是哲学家和逻辑学家仍在激烈争论的终极问题之一。 它可能永远不会得到完全满意的回答。 这不是许多大学生,更不用说孩子,真正能够应付的事情了。

  18. 小时候我擅长数学,但哦,我多么讨厌概念上的废话。 第一章中关于有理数和实数的所有犹豫……嗯。 直到我很好地处理数字之前,这没有任何意义。 我喜欢解决所有小问题,因为它们就像谜题或游戏。

    故事问题总是拖累。 在我上大学之前,我什至没有意识到我应该将它们翻译成公式。

    与年轻教师似乎认为如此有帮助的精心比喻相同。 只有当孩子已经理解了某些东西时,它们才有意义,而且通常只是把水弄得浑浊。

    • 回复: 吉姆
    @颂歌

    我是相反的。 我不擅长计算数学,但我喜欢概念性的东西。

  19. 中国人很会识字。 媒体甚至政府通常会以最令人困惑的方式发布经济和商业数据。 不是你想的那样,他们是想搞混,因为中国人能搞清楚。 是他们喜欢玩数字。 当我问中国人这件事时,你为什么不直接传达信息,他们说中国人总是这样做。 最新的例子之一是对土地融资的依赖。 该数字以相对于总支出百分比的百分比报告。 如果一个地方政府50%的钱来自中央政府的税收和转移支付,50%来自卖地,那么它100%依赖卖地。

    至于教数学,我记得在高中三年级或四年级的时候,学习 pre-calc/trig/calculus。 我们开始在一家工厂遇到涉及细菌生长和小部件生产的问题。 那是我第一次明白这个东西有什么用,突然就变得直观了。 在那之前,它是抽象的。

  20. 贫民窟的孩子显然是维特根斯坦主义者:

    “它旨在揭示算术的基本基础。 然而,我们日常的算术练习,比如计数,才是基本的。 因为如果计数和 Principia 之间出现持续的差异,这将被视为 Principia 错误的证据(例如,Principia 没有正确描述数字或加法),而不是日常计数错误的证据。”

    • 回复: @庄园
    @里德

    这不是许多大学生,更不用说孩子,真正能够应付的事情了。
    ---------------

    真的吗? 您需要博士学位或一些专业培训来怀疑 1+1 = 2? 你要投降
    这是直觉的基本领域,因为只有专家才能对此持有意见。 我希望不是。

    就个人而言,我怀疑 1 + 1 = 2,因为我能想到一些似乎并不适用的例子
    工作。 就像一个苹果加一个苹果不等于两个,如果一个苹果碰巧在我有机会将它们加在一起之前被吃掉了。 我很好。 不需要通过拉塞尔和怀特黑德去尝试寻找缺陷,因为我认为他们没有比我更好的经验。

    回复:@Jim

  21. @外国专家
    我的妻子说,菲律宾的市场人员在计算一公斤的分数时遇到了很多麻烦,等等。他们对固定的数量有固定的价格。 如果你要 1/4,他们不知道价格。

    回复:@Anonymous

    在菲律宾环境中

    这就是为什么中国人在数学上比菲律宾人好:在他们就读的私立学校,那里的学校教的数学是普通菲律宾人在公立和私立学校的两倍——早上是英语数学,下午是中国数学.

    • 回复: @迪克西
    @匿名的

    中国数学技能的秘密:)

    http://www.telegraph.co.uk/news/worldnews/1538805/Four-year-olds-study-for-their-MBA.html
    “四岁的孩子为他们的 MBA 学习”

    “没有像童谣这样传统的西方儿童主食的空间。年轻的学生没有“咩咩黑羊”,而是给了年轻的学生一个电脑屏幕和一个动画羊农场,他们在上面学习如何使剪羊毛生意有利可图,建立一个从笔到市场的业务结构。”

    回复:@Steve Sailer

  22. 我对那篇文章很生气,伊丽莎白格林一直在对公众进行黑客攻击,以换取“亿万富翁慈善家”的大量资金。

    格林在 Doug Lemov 上写了最初的公关文章(又名《纽约时报》文章),这让她得到了一笔图书交易,但也确保了她的网站 Chalkbeat(她在该网站上对教育政治进行了合理的报道)不仅从盖茨那里获得了资金,而且还从背后的人那里获得了资金Uncommon Schools 和其他一些主要的 CMO。 她对教学一无所知,没有以任何形式进行报道(与阿曼达·里普利不同,她是一名教育记者)。 这是Doug Lemov的基本口交。 我能看出她选择日本的主要原因是里普利已经圈住了韩国和芬兰。

    正如我在推特上所说,不仅仅是这篇文章是垃圾。 这是重演的废话。

    “实际上,新数学主要失败了,因为它是数学教授试图设计一门对想要培养新数学教授的数学教授有意义的课程。 ”

    我有一些坏消息。 我花了大约 20 个小时在一位备受推崇的数学教授那里进行非常有趣的专业发展,他花了很长时间对孩子们如何学习数学大惊小怪。 这都是关于数字线的,宝贝。 我们回到那个。

    我不是在开玩笑说警察局。 我发现他的见解引人入胜且很有帮助。 但他绝对相信,孩子们数学如此差的原因是因为他提供的这些相对较小的见解。

  23. Kurt Goedel 没有证明所有这些数学的基本原理就像 Principia Mathematica 还是导致了悖论? 这一切都在我的脑海中,但这是我从阅读霍夫施塔特时得到的总体印象。

    • 回复: @安安农
    乔卡·麦克弗森(Jokah Macpherson)

    http://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_incompleteness_theorems

    “第一个不完备性定理指出,其定理可以通过“有效程序”(例如,计算机程序,但它可以是任何类型的算法)列出的公理的一致系统能够证明关于关系的所有真理自然数(算术)。对于任何这样的系统,总会有关于自然数的陈述是真实的,但在系统内无法证明。第二个不完备性定理,第一个的扩展,表明这样的系统不能证明它自己的一致性。”

    回复:@Jim

    , 吉姆
    乔卡·麦克弗森(Jokah Macpherson)

    这绝对是在你的头上。

  24. 说到数学,只有 10 种人:知道底数 2 的人和不知道底数的人。

  25. 在 50 年代末和 60 年代初,我在费城的一所天主教小学上学。我们被性别分开,他们是我班上的 50 个男孩。我们是由不是大学毕业生的修女教的。 那是一个全是白人的爱尔兰社区。 进入一年级的学生都没有因任何原因被开除,也没有任何形式的入学考试。这是一个低中产阶级社区。 附近所有的天主教孩子都参加了,因为他们没有任何学费。 1 年级时,我们被要求参加高中分班的标准化考试。我班 8 个男孩中有 99 个得到了 98,97,96,95 分,我们有不少是 1900、XNUMX、XNUMX、XNUMX 等。教学技术可能在XNUMX年使用。

  26. “我的妻子说,菲律宾的市场人员在计算一公斤的分数时遇到了很多麻烦,等等。他们对固定的数量有固定的价格。 如果你要 1/4,他们不知道价格。”

    亚洲人擅长数学的“刻板印象”主要适用于中国人、韩国人和日本人等东亚人。 例如,对于菲律宾人、泰国人和印度尼西亚人等东南亚人来说,情况就不是这样了。

  27. 新数学,谈谈如何扼杀对数学的兴趣,就是这样。 由于智力垃圾,我产生了数学恐惧症。 如果它是由数学教授创建的,那只能证明数学教授是不称职的,不会教书,也不了解幼儿或青少年或他们需要什么。

    真正聪明的孩子不需要它。 他们在学业上可以很好地自生自灭。

    至于巴西的孩子们在做什么。 嗯,这是实用的直观数学,在学校肯定有一席之地。 更重要的是,由于教学的最新发展,他们可以在头脑中做到这一点,而今天大多数需要计算器来做基本算术的孩子。 或者我应该说来自一群失败的学者的最新回归。

    现在,关于数学教学的一个大问题是它的大部分内容都非常抽象,以至于大多数孩子认为它毫无用处——如果你没有获得 STEM 领域的学位,大多数情况下是这样。 学校需要找到一种使其相关的方法,否则教师会被学生忽视。

    至于没用,代数II就属于这一类。 问题在于,大多数少数民族孩子无论如何都会把它搞砸; 其他对修理汽车、管道或成为电工更感兴趣的人不需​​要它,对他们来说也没关系。 这些孩子受贸易学校限制,可能会比大多数坐在 Herman-Miller 立方体中等待离岸的数学专业学生赚更多的钱。

    我说让它成为那些需要它的人的选修课(大学绑定)。 否则,只需专注于教孩子们实用的基本知识。 这样就不用取舍了。

  28. @里德
    贫民窟的孩子显然是维特根斯坦主义者:

    “它旨在揭示算术的基本基础。然而,我们日常的算术实践(例如计数)才是基本的;因为如果计数和原理之间出现持续的差异,这将被视为原理中存在错误的证据(例如, Principia 没有正确描述数字或加法),不能作为日常计数错误的证据。”

    回复:@Hacienda

    这不是许多大学生,更不用说孩子,真正能够应付的事情了。
    -----

    真的吗? 您需要博士学位或一些专业培训来怀疑 1+1 = 2? 你要投降
    这是直觉的基本领域,因为只有专家才能对此持有意见。 我希望不是。

    就个人而言,我怀疑 1 + 1 = 2,因为我能想到一些似乎并不适用的例子
    工作。 就像一个苹果加一个苹果不等于两个,如果一个苹果碰巧在我有机会将它们加在一起之前被吃掉了。 我很好。 不需要通过拉塞尔和怀特黑德去尝试寻找缺陷,因为我认为他们没有比我更好的经验。

    • 回复: 吉姆
    @庄园

    没有人,尤其是罗素或怀特黑德,怀疑 1 + 1 = 2。《原理》中的内容远不止 1 + 1 =2。

    回复:@Hacienda

  29. 史蒂夫,你是个聪明人。 如果您再给它一次机会,您可能会喜欢“抽象的东西”。 你知道,数学中的抽象是关于注意模式的,你很擅长。

    就像,翻转和旋转床垫和洗牌之间有很深的联系。 在关于素数的基本事实和因式分解多项式之间。

    我希望德布能参与进来……

  30. ” 这对我来说太抽象了。 我不喜欢可以代表不同事物的变量,我喜欢代表真实事物的数字。”

    正如约翰 D 威廉姆斯在 '完整的战略'

    n 不是工人的朋友。”

  31. OT 但美国数字公司表示,众议院提出的任何关于“边境激增”的法案都可以与 S.744 特赦法案进行协商。 Cornyn-Cuellar“边境激增”法案可能会在本周末由众议院通过。 请大家,打电话给 Hosue 共和党领导层,要求他们不通过任何关于边境激增的法案。

  32. 如果我认为这篇文章的标题应该以“是”这个词开头,我是不是文盲。

  33. 史蒂夫,你考虑过看看匈牙利数学教学的历史吗? 长期以来,他们可能被认为是教授青少年高等数学领域的领导者。 当然,这确实是为那些想成为教授的学生准备的数学。 Donald Knuth 应该是这么说的 “匈牙利的教育体系在纯数学方面是最成功的。=

  34. ”(我不具体了解《Golden Slumbers》,但有一段时间,保罗的《昨天》的版税100% 都归洋子所有,而这笔钱无疑是刻在保罗的灵魂里的。)

    好吧,我们知道他能够 将 Harold Wilson 的边际税率转换为比率 ——或者他,似乎甚至 数学教育者很困惑,术语明智 关于比率与分数与比例(我会添加一个类似于“赔率”的比例与“百分比”表示)。

  35. 学校花费太多时间使数学相关。 我什至数不清有多少次我睡着了,听有人在谈论柠檬水摊或如果 x y 可以吃多少糖果(我在 2000 年代中期高中毕业)。 我的数学问题是,老师们从来没有遇到过任何麻烦来口头理解数学在做什么(在我的教育生涯中,我被教导要考虑五六次,但我仍然不知道它是什么或它是什么确实如此),这可能是因为如果你没有本能的能力,就很难从语言上理解数学。

  36. “算术和数学素养是一回事吗?”

    算术,施算术。

    叫我语法纳粹,但不应该这样提出这个问题: 算术和数学素养是一回事吗?”

    现在去看看你的血压计上的刻度。

  37. 我在这个星球上的 XNUMX 年中所知道的唯一折磨
    是在学校里坐在课桌前看时钟和等待的时间
    一天结束。

    多么浪费宝贵的生命。

  38. “在我的教育生涯中,我被教导要考虑五六次因素,但我仍然不知道它是什么或它做了什么”

    我假设您的意思是分解三项式? 这是一位不是数学家的数学老师来回答。

    保理是将总和转换为乘积的过程。 这样做有两个主要原因,可以说这两个原因都没有图形计算器之前那么重要。

    1)我们没有超过二阶多项式的广义解。 我们有一些用于特定立方体形式的方法,并且可能有一些用于四次的方法(即使是那些不适合二次形式的方法)。 已经证明,没有超过五次的广义解(或者是四次?嘿,现在是夏天。)所以找到大于 4 次的多项式的解通常需要某种形式的猜测和检查——无论是因子还是,如果它是素数,就缩小范围。笛卡尔符号规则,有理根定理等是缩小可能性的工具。

    2)有理表达式的分子和分母可能有公因数,这意味着不连续而不是渐近线。

    我不知道这是如何在现实世界中使用的,而且我确信我给出的解释是缺少一些东西。 我是英语专业的。

    你们中那些主张更多应用数学、更少理论的人——在过去,我们只向即将上大学的孩子教授高级数学,因为你必须通过微积分才能读完大学。 因此,如果您没有通过微积分学习数学的技能,那么最好在上大学之前了解它。

    在这一点上,不仅不需要微积分,而且你甚至不需要数学课来获得大多数学位。 大学仍在拼命尝试通过识别甚至无法通过补习数学的人来保持学位的信号价值。 然而,最近的事态发展使这变得困难,因为类 *后* 你通过补习数学是那么容易。 一些证明具有补习水平技能的学生能够通过非补习班的研究已经发表。 所以现在有人争辩说补习班只是废话,只是把关,我们应该让每个人都通过。

    但补救措施在很大程度上不受种族平衡压力的影响,因为它混合了多种因素:AP 课程、SAT 或 ACT 分数、分班考试。 让每个人都通过,教授和讲师将承受“​​公平”通过率的巨大压力。

    大学学位现在不是什么大信号,但补救措施已经受到了巨大的攻击。 高中对高等数学的最终要求,我们只是缺乏可靠的指标。

    解决方案:要求大学文凭的微积分,无论学位,使用测试。

    与此同时,虽然,所有这些谈话在技术上都是正确的,但是男孩,考虑到我们已经想搞砸社会,你们都在扯最后几个保护大学学位的渣滓。

    • 回复: @国际犹太人
    @教育现实主义者

    “1)我们没有超过二阶多项式的广义解决方案。我们有一些针对特定立方体形式的方法,并且可能有一些用于四次的方法(即使是那些不适合二次形式的)。它已经被证明没有超过五度的广义解决方案(或者是四度?嘿,现在是夏天)“

    第五名及以上:Evariste Galois 确立了这一点,它仍然是数学史上最伟大的成就之一。 至于 3 级和 4 级,这些都有完全通用的公式。 但是这些公式会产生非常混乱的结果。 所以他们很少(如果有的话?)在学校里。

    回复:@Jim

    , 吉姆
    @教育现实主义者

    地位竞争的根本问题是地位的供给是完全固定的。 它不响应需求或技术创新。 因此,在每个人都拥有大学学位之后,拥有这样的学位将毫无用处,因为它不会提供任何地位。 然后要获得地位,您必须获得博士学位或其他任何东西。

    灵长类社会中地位竞争的本质是几乎每个人几乎一直都是失败者。

  39. 我在你的另一个博客上留下了这条评论;

    “Common Core 由比尔·盖茨资助,不仅是为了确保 Common Core 技术产品(由微软创建和推出)在未来几十年内的消费者基础(美国教育系统),Common Core 兼容课程旨在不让美国人高中毕业生在数学科目上“为大学做好准备”,尽管它声称这不仅会让所有高中毕业生“为大学做好准备”,而且会让美国学生在数学科目上与东亚和南亚人相比具有国际竞争力和科学。 盖茨聘请设计测试的共同核心测试的创建者之一承认,如果教师坚持单独教授通用核心测试兼容课程,他们的学生将无法为典型的、平庸的 4 年状态做好准备。大学,并且必须参加补习数学课程。

    这是一个阴谋,让美国人的资格不如那些以低得多的工资为盖茨工作的 H1B 签证有希望的人吗?”

    也就是说,我查看了一些关于 Common Core 计划教授数学的不同方式的视频,我确实认为它会帮助那些难以“获得”数学抽象的孩子。 他们在视觉上分解事物,虽然这需要更长的时间,但它使问题变得有意义。 它也显示为解决问题的唯一一种方法,所以我假设对于不喜欢这种方法的孩子,他们可以使用其他方法之一,只要在测试中达到正确答案,它将是美好的。

    他们的想法是“深入”数学,而不是为了包括三角学和微积分而快速覆盖很多浅层。 问题是,为了“为大学做好准备”代数 II,无论喜欢与否,在典型的 4 年制州立大学中,即使是非 STEM 专业的学生,​​都需要 Trig 和 Pre-Calc。

    因此,无论代数 I 和几何中的 CC 有多“深”,希望继续上大学的美国高中毕业生都需要补习数学课程。

  40. @匿名的
    @外国专家

    在菲律宾环境中

    这就是为什么中国人在数学上比菲律宾人好:在他们就读的私立学校,那里的学校教的数学是普通菲律宾人在公立和私立学校的两倍——早上的英语数学,早上的中国数学下午。

    回复:@dixie

    中国数学技能的秘密🙂

    http://www.telegraph.co.uk/news/worldnews/1538805/Four-year-olds-study-for-their-MBA.html
    “四岁的孩子为他们的 MBA 学习”

    “像童谣这样传统的西方童年主食已经没有空间了。 年轻的学生们获得的不是咩咩黑羊,而是一个电脑屏幕和一个动画羊场,他们在其中学习如何使剪羊毛业务有利可图,建立从围栏到市场的业务结构。”

    • 回复: @史蒂夫·塞勒
    @迪克西

    我在《每日电讯报》的一篇关于 3 到 6 岁中国 MBA 的文章中引起了我的模仿警报,尽管也许中国企业家只是为虎妈想出了最可模仿的产品。

  41. @迪克西
    @匿名的

    中国数学技能的秘密:)

    http://www.telegraph.co.uk/news/worldnews/1538805/Four-year-olds-study-for-their-MBA.html
    “四岁的孩子为他们的 MBA 学习”

    “没有像童谣这样传统的西方儿童主食的空间。年轻的学生没有“咩咩黑羊”,而是给了年轻的学生一个电脑屏幕和一个动画羊农场,他们在上面学习如何使剪羊毛生意有利可图,建立一个从笔到市场的业务结构。”

    回复:@Steve Sailer

    我在《每日电讯报》的一篇关于 3 到 6 岁中国 MBA 的文章中引起了我的模仿警报,尽管也许中国企业家只是为虎妈想出了最可模仿的产品。

  42. @教育现实主义者
    “在我的教育生涯中,我被教导要考虑五六次,但我仍然不知道它是什么或它做了什么”

    我假设您的意思是分解三项式? 这是一位不是数学家的数学老师来回答。

    保理是将总和转换为乘积的过程。 这样做有两个主要原因,可以说这两个原因都没有图形计算器之前那么重要。

    1)我们没有超过二阶多项式的广义解。 我们有一些用于特定立方体形式的方法,并且可能有一些用于四次的方法(即使是那些不适合二次形式的方法)。 已经证明,没有超过 4 次的广义解(或者是 2 次?嘿,现在是夏天。)所以找到大于 XNUMX 次的多项式的解通常需要某种形式的猜测和检查——无论是因子或者,如果它是素数,则只是缩小范围。笛卡尔符号规则、有理根定理等是缩小可能性的工具。

    2)有理表达式的分子和分母可能有公因数,这意味着不连续而不是渐近线。

    我不知道这是如何在现实世界中使用的,而且我确信我给出的解释是缺少一些东西。 我是英语专业的。

    你们中那些主张更多应用数学、更少理论的人——过去,我们只向即将上大学的孩子教授高级数学,因为你必须通过微积分才能读完大学。 因此,如果您没有通过微积分学习数学的技能,那么最好在上大学之前了解它。

    在这一点上,不仅不需要微积分,而且你甚至不需要数学课来获得大多数学位。 大学仍在拼命尝试通过识别甚至无法通过补习数学的人来保持学位的信号价值。 然而,最近的事态发展使这变得困难,因为你通过补习数学*之后的课程非常容易。 一些证明具有补习水平技能的学生能够通过非补习班的研究已经发表。 所以现在有人争辩说补习班只是废话,只是把关,我们应该让每个人都通过。

    但补救措施在很大程度上不受种族平衡压力的影响,因为它混合了多种因素:AP 课程、SAT 或 ACT 分数、分班考试。 让每个人都通过,教授和讲师将承受“​​公平”通过率的巨大压力。

    大学学位现在不是什么大信号,但补救措施已经受到了巨大的攻击。 高中对高等数学的最终要求,我们只是缺乏可靠的指标。

    解决方案:要求大学文凭的微积分,无论学位,使用测试。

    与此同时,虽然,所有这些谈话在技术上都是正确的,但是男孩,考虑到我们已经想搞砸社会,你们都在扯最后几个保护大学学位的渣滓。

    回复:@International 犹太人,@Jim

    “1) 我们没有超过二阶多项式的广义解。 我们有一些用于特定立方体形式的方法,并且可能有一些用于四次的方法(即使是那些不适合二次形式的方法)。 已经证明,超过五度(或者是四度?嘿,现在是夏天)没有通用解决方案“

    第五名及以上:Evariste Galois 确立了这一点,它仍然是数学史上最伟大的成就之一。 至于 3 级和 4 级,这些都有完全通用的公式。 但是这些公式会产生非常混乱的结果。 所以他们很少(如果有的话?)在学校里。

    • 回复: 吉姆
    @国际犹太人

    在伽罗瓦之前,阿贝尔证明了一般五次方不能用根式解决。 一般五次方程可以通过模函数来求解。

  43. 读到这里,我想起了我高中时代的一个有趣的插曲。

    我在标准化考试中成绩很差,他们过去常常把孩子安排在不同的数学教学水平,所以我总是被安排在绝对最低的数学班。 即便如此,我通常是那些班里表现最好的学生之一。 (此外,在我上最低级别的数学课程的同时,我还在上其他所有科目的 AP 水平课程——因为它的价值……)

    Anyhoo,这些低级数学课程的老师总是很用心地用非常简单的语言来解释一切,这就是为什么我做得这么好。 “普通”数学老师总是以我难以理解的方式说话。 不过,我记得有一个星期,我们的普通数学老师(一个非常直率、严肃的黑人,曾是一名海军陆战队员)生病了,在上课期间,我在学校上课,而不是带上代课老师从大厅对面请来了高等数学老师。 (显然她在那段时间有空,所以学校想省点钱。)

    这位高等数学老师从某个地方获得了一些该死的高级学位——我记得她实际上是一名“医生”,尽管她并没有让我们这么称呼她。 不过,就我们而言,她可能一直在说阁楼希腊语。 她不断地引用我们这些愚蠢的孩子从未听说过的高级概念。 我实际上开始用她自己的高级语言来嘲笑她,问一些复杂的废话问题,只是为了看看她的反应。 (我相信我是唯一一个得到这个笑话的人......)

    我想我的意思是,我当时明白,给对数学有深刻理解的人教数学和给只需要了解基础知识的人教数学之间有很大的区别。 史蒂夫对“数学原理”的引用实际上非常尖锐——不止一次,当我看到我的老师未婚妻必须推动的共同核心课程时,我发现自己在问同样的问题:“见鬼,他们为什么不直接拉拉塞尔和怀特黑德下架并试图教孩子们? 如果他们要把所有这些东西都倾倒在小孩子身上,为什么不直接去找源头呢?”

  44. 不完全是贫民窟的孩子,但我一直对二十一点经销商的计数速度印象深刻。

  45. 这里提到了下面的一些陈述。 它们不可能都是真实的,也不能都是不真实的。 查看数据和统计数据而不是凭直觉和轶事会很有帮助。

    1)在 1980 年代,美国出生的大学生在童年时期经历过新数学时代,就像他们在 60 年代到 70 年代是小学的孩子一样,获得科学和工程学位的比例远高于以前或自。 获得科学和工程学位的美国女性比 1980 年代以来的任何时候都要多。 然后,正如记者所说,男性父权制驱使女学生放弃学习计算机科学等专业。

    2)教育部对大学学位(包括营利性文凭工厂的学位等)提供了一些欺诈或伪造的统计数据。 虽然一些人出于宣传原因有意或不知不觉地传播虚假信息,但一些调查记者可以进行 FOIA。

    3)“新数学是失败的。”

  46. “嗯,我们知道他能够将哈罗德·威尔逊的边际税率转化为一个比率……”

    那是乔治哈里森的歌。

  47. 史蒂夫,你从 1970 年到 1972 年的学生时代似乎很田园诗般——在嬉皮士的世界中心和所谓的“爱与和平”时代的顶峰实现了嬉皮士的梦想,其乐观主义和对人性的信仰是错误的。 在课堂上听“头发”配乐,同时在精力和对未来的信心达到顶峰时听起来很酷,这只是一个哭泣的耻辱,因为世界变成了老帮派所说的恶毒。

  48. @斯维格:
    ” 男孩感兴趣需要有理由。 给他们现实世界中吸引他们的例子(炮击、飙车、拆除炸弹、拆除、赚钱等,不分享水果等),你就有更好的机会吸引他们的兴趣。”

    事实上,他们曾经这样做过。 由于认为女孩被抛在后面的女权主义者,他们把所有的文字问题变成了卖柠檬水的女孩。 而且,是的,女孩做得更好,但男孩做得更糟。 正如赛勒所说,事情不一定是零和的,但它们经常是。

  49. @查尔斯

    在 70 和 80 年代,我和很多老教师一起去了一所乡村学校。 他们都看了教科书上的新数学杂物,告诉大家不要理会它,然后继续用旧方法教数学。 所以,即使新数学已经出现,我认为很多年长的老师只是忽略了它。 那时还没有 CE 要求迫使教师不断回到大学学习如何提高二年级学生的教学水平。 相反,州标准只是你必须通过如此多的课程,而学校必须按照他们的意愿来规定。 我的物理老师,坚强但很棒,2岁大学毕业,获得了两年的教学学位。 今天永远不会发生。

    在 80 年代,工程/计算机科学很酷。 它一直保持这种状态,直到新的教学方法无处不在(使用那些旧教科书,直到它们分崩离析并且老教师退休)并且这些学位的工资停滞不前。

    没有得到第 2 点。

    新数学是失败的。 失败并不与第 1 项相矛盾,因为较宽松的州标准意味着较慢的采用率。

  50. 我喜欢在数学教学目标之间进行权衡的观点。 MBA 学生害怕微积分,因为他们记得他们的大学数学课。 然而,对于我的经济学课程,他们只需要知道三个食谱公式(一个,真的),这意味着他们所要做的就是克服他们对科学专业设计的本科数学的恐惧。

    大多数人根本不需要微积分或三角函数,即使是上大学也是如此。 他们需要统计数据和证明理念(即欧几里得几何)。 还有代数——也许吧。 但是如果你 *做* 如果你想成为科学或工程专业的学生,​​微积分是最好的,如果你想成为数学专业的学生或在另一个技术领域做博士工作,那么严格的微积分是最好的。

  51. 苏联幽默。 两个俄罗斯人在说:

    伊万:卡尔·马克思真的发明了社会主义吗?

    弗拉基米尔:是的,卡尔·马克思是社会主义经济制度的发明者。

    伊万:卡尔马克思是科学家是真的吗?

    弗拉季米尔:是的,确实! 他是世界历史上最伟大的科学家!

    伊万:如果卡尔马克思是这样一位科学家,他为什么不先在老鼠身上进行测试呢?

  52. 史蒂夫,我比你晚了两年,但我的天主教年级/初中有 80% 的教职员工是老学校的修女。 对重大违规行为的惩罚不仅仅是指关节敲击。 这就是一个 5 英尺高、100 磅、35 多岁的女人如何控制一个有 11 个 XNUMX 岁儿童的房间,其中一半是男孩,他们正处于决定也许女孩比她们更值得关注的东西的风口浪尖之前支付给他们。 非专业工作人员遵守党的路线或找到其他工作; 感觉是,如果你想“说唱这场运动”,就去你所属的公立学校。

  53. IJ-谢谢。 在我的预计算课上,我总是指出伽罗瓦(在我查到它之前永远不记得他的名字)。 我永远不记得有完全概括的形式,因为这本书没有显示它们。 我们得到一个“抑郁立方体”公式的示例,并比较公式以猜测和检查——后者获胜。

    对于那些心想事成的人,一个不知道这些东西的数学老师! 好吧,我知道它教它。 我一年前才开始教 pre-calc,所以我对数学分析的更深理解是比较不稳定的。

    但是对于坐在预科班上的普通孩子来说,他们知道他们不太可能再次使用这个,这就是我要指出的:

    到目前为止,在你的数学教育中,你已经花了 2-3 年的时间学习一级方程,2 年的时间学习二级方程,一年左右的时间学习指数方程。 您可能认为在更高级的数学中,您会学习第三学位,然后是第四学位,然后当您学习微积分时,天哪,您已经获得了第五和第六学位! 因为你真的在外面,宝贝。

    但事实证明,多项式更像多边形。 您将详细了解三角形、圆形和四边形。 然后事实证明,一旦你超过了四个边,一切都只不过是三角形数量的增加——这就是为什么我们要花这么多时间把三角形的事实打到你的脑海里。 当你离开几何时,你已经模糊地发现三角形和圆形占了球赛的 90%,平行四边形也有一些用处。

    同样,您会在线性和二次项上花费大量时间,因为它们是更高次多项式的构建块。

    我认为,这就是受过教育的非数学家需要从数学分析中拿走的东西,以及理解这一点之后的重要数学定理涉及更快地分解多项式的工具。

    然而,问题仍然存在,这项研究在我们可以绘制所有内容并如此迅速地看到它的世界中是否有任何相关性? 我记得在阅读 Laura Ingalls Wilder 的书时,孩子们很快就会在他们的脑海中找到平方根。 天哪,我们不能那样做。 但我们不需要,因为我们有计算器和计算尺之前。

    今天,孩子们的智能手机计算器开始包含日志库选项。 所以你可以输入 log(3,15),它是以 15 为底的 3 的对数。我的意思是,天哪。 据我所知,我们教改变基本公式的全部原因是为了让我们可以将方程变为以 10 为底,因为我们的表格(现在,我们的计算器)需要它。 假装我们需要对数属性或正弦和余弦角加法公式已经是一个延伸,这些公式也是在计算器出现之前设计的。

    所以就像我们停止教孩子如何求平方根一样,我们是否要停止教孩子对数属性和三角属性? 数学分析是我们不需要的吗?

    • 回复: 吉姆
    @教育现实主义者

    EdRealist - 你对多项式的数学一无所知。

  54. 关于单词问题:厌女症正在变得愚蠢。

    首先,我想说的是单词问题仍然是高中老师教得最少的领域。 我的同事经常告诉我,他们的孩子只是断然拒绝做文字问题,如果他们坚持就会失败。 无论如何,他们比我失败的孩子多得多。

    因此,我们将文字问题变成让男孩厌烦的少女情境的想法不仅是错误的,而且是愚蠢的错误。 在高中,许多数学老师几乎没有像他们应该做的那样经常做应用题——这是对高中数学更合理的批评之一。 孩子们知道高等数学的公式,但理解有限。

    在我的课上,我从单词问题开始每个部分。 (二次方程是最难简单建模的)。 我最弱的孩子们惊讶地发现他们发现这很有帮助,并且经常在我的课堂结束时意识到他们比任何东西都更擅长文字问题,因为它给了他们一个参考框架——我特别是在谈论线性建模。 我是这样教的: https://educationrealist.wordpress.com/2013/02/16/modeling-linear-equations-part-3/

    结果,我的课程被认为很容易通过,但很难获得A。我觉得这很难理解。 我的同事们做了这些五六页的测试,里面充满了比我想象中更难的问题。 我的测试是两页,偶尔是三页。 孩子们说我是残酷的,除了能力最低的孩子,他们觉得他们可以管理。 我很困惑,但初步得出结论,更难的测试涵盖了孩子们再也看不到的材料,所以有动力记住足够长的时间来进行测试。 能力较低的孩子无法做到这一点,所以做得不好。 另一方面,我的测试贯穿课程的所有材料,所以如果你是那种只记住的人,那你就完蛋了。

    这篇长篇大论的重点是 a) 许多高中老师从不做文字题,或者很少做。 我不会质疑我的倾向于直截了当——我不是 Dan Meyer。 b) 教科书提供 *吨* 文字问题,虽然我偶尔不喜欢它们的某些地方,但这并不是因为它们太少女了。 文本已经擅长在各种各样的情况下提出单词问题。

    所以你们都在谈论柠檬水摊位是错误的,这是一种普遍的做法。 可能有些老师会强调女孩可能更喜欢的方法,但说真的,如果你是一个无法应付柠檬水摊的男人,那就培养一对吧。

    二次方程和指数方程建模示例:
    https://educationrealist.wordpress.com/2013/12/16/the-negative-16-problems-and-educational-romanticism/

    https://educationrealist.wordpress.com/2013/05/05/modeling-exponential-growthdecay-interspersed-with-a-reform-rant/

    最后一件事:细心的读者会注意到,我绝不是一个基于公式的老师。 然而,我认为格林的文章是彻头彻尾的、深刻的废话,它是由想要在教育市场分一杯羹的改革者和商界人士资助的。 物有所值。

    • 回复: @Shuddh Bharatiyaan
    @教育现实主义者

    很棒的评论!

    我都赞成以各种方式呈现数学,以便不同能力和学习风格的孩子有一个适合他们的参考框架。

    对共同核心的批评之一是它提供了许多替代方法来解决问题并得出答案。 我说的越多越好,因为对一个孩子有意义的事情可能对另一个孩子没有意义,而且通常也没有意义。

    Common Core 确实存在严重问题,但这不是其中之一。

  55. “认真教授,作业可以帮助使数学更加具体。”

    嗯…… 从使数学更具体开始。 让他们打牌赚钱。 那是具体的。 或障碍赛马。 胡扯也不错。

    至于现实世界…… 每个人都使用模拟。 无论如何,在现实世界中。 我不知道他们在粒子物理学的现实世界中做了什么。

    教他们模拟。

    如果您认为以前的时尚很糟糕,请尝试“日常数学”。 糟透了。 我想这对于那些因为使用了奇怪的算法而无法教孩子长距离的父母来说是最糟糕的。

    即将成为工程师的孩子不需要专门的数学教学,因为他们可以使用任何方法学习。 普通孩子……教他们测量两次,切割一次。

    前 5 个百分位与其他任何前 5 个百分位的国家一样好。 除此之外,为什么有人在乎。

    就个人而言,我希望人们了解 GDP。 还有十亿、一百亿、一千亿和一万亿之间的区别。 还有一亿。 理论上可能在彩票中获胜的金额往往在实际中被理解。 有点类似,人们应该明白,就联邦政府而言,一万亿是一个很大的数字。 十亿? 没那么多。

    对一个有很多零的数字的典型反应……再一次,如果是超级乐透的金额,这是可以理解的。 几架私人飞机。 房子、汽车、亲戚、衣架,几年后就会消失。

    更大的数字? 就叫他们数不胜数吧。

  56. 有没有人注意到标题上写着 50 条评论,但实际上有 53 条(现在是 54 条)评论? 输入这个以查看计数器是否更新。

  57. 第五名及以上:埃瓦里斯特·伽罗瓦(Evariste Galois)确立了

    其实 亚伯 在1824中,何时 伽罗瓦 是13。

    彼得佩西奇写道 一本关于它的好书,我建议。

    • 回复: @亲爱的
    @约翰·德比郡

    贝尔的数学家也说“亚伯”,如果有记忆的话——它并不总是这样。

    无论如何:微积分。 我们是在“建造铁路的最佳方式”的背景下学到的。 复数:我们以抽象的方式学习了这些,然后,噗!,e^(i*pi) = -1。 该死的地狱!!! 十六岁是什么感觉。

    , @国际犹太人
    @约翰·德比郡

    感谢您直截了当地记录。 但是伽罗瓦确实应该得到更多的赞誉;-)

    回复:@John Derbyshire、@Jim、@Jim

    , @灰色启示
    @约翰·德比郡

    根式(对于特殊情况)或椭圆曲线的五次解是一个美丽的景象

  58. 最可悲的一个 [又名“启示录的第四位门卫”] 说:

    由于认为女孩被抛在后面的女权主义者,他们把所有的文字问题变成了卖柠檬水的女孩。

    澳大利亚的一位女大学教官提出了一个关于一位女驱逐舰船长和一位女潜艇指挥官的文字问题,潜艇必须潜水或其他什么。

    问题的症结在于潜艇下潜到1公里的深度。

    愚蠢的女人。 (如果您对潜艇有所了解,那么您就会知道我为什么这么说。您甚至不必了解澳大利亚柯林斯级潜艇的局限性就可以理解。)

  59. 最可悲的一个 [又名“启示录的第四位门卫”] 说:

    米什弄错了:

    http://globaleconomicanalysis.blogspot.com/2014/07/bad-day-for-bad-teachers-good-day-for.html

    我认为少数族裔的行为是如此糟糕,以至于优秀的教师可以而且确实可以逃到更好的地区。

  60. @斯维格
    我可以建议算术和数学不一定是一回事。 例如,1960 年代的新数学绝对不是为了强调木匠需要的那种实用计算能力。 它的目的是让学生更好地掌握更高、更抽象的数学形式,这些数学形式将成为他们大学和研究生数学的基础,让最聪明的学生能够取得理论突破,从而有助于赢得冷战中的技术竞争。

    我记得我的代数 II/Trig 老师在课堂的最后一天免费向我们解释信用卡和其他现实世界的数学,因为我们已经完成了所有的课程内容。 我记得想知道为什么他们不总是这样教数学。 并不是说其中任何一个都涉及代数 II 或 Trig。

    我喜欢代表真实事物的数字。

    事实上,这是让男孩对数学感兴趣的方法。 女孩在数学能力方面可能落后于男孩,但只要权威说“你必须学习这个”,她们就会自动受到激励。 男孩需要有一个感兴趣的理由。 给他们现实世界中吸引他们的例子(炮击、飙车、拆除炸弹、拆除、赚钱等,不分享水果等),你就有更好的机会吸引他们的兴趣。

    在同一个多项选择题测试中,四分之三的四年级学生无法将一个简单的单词问题翻译成“15 + (15×2)”这个表达方式,即一个女孩在周六卖了 15 杯柠檬水,在周日卖了两倍的柠檬水。 ”

    轰隆隆:“卖柠檬水的女孩——” zzzzzzzzzzzzzz...

    卖法拉利怎么样? AR-15? 快艇?

    老师告诉学生画蝴蝶

    叫他们拔剑怎么样? 战斗机?

    柠檬水,蝴蝶,zzzzzzzzzzzzzzzz...

    回复:@Hunsdon

    在战斗的第一天,你的排就遭受了 25% 的伤亡。 然而,在战斗的第二天,你造成的伤亡人数是第一天的两倍。 给定一个排有 24 人的兵力,你受了多少伤亡,造成了多少伤亡?

    男孩们每次都会做对。

  61. @最可悲的一个

    未受过教育的人可能比专门教授数学的人更有能力学习复杂的数学,但在学校的背景下,他们被他们已经知道的数学所阻碍。 对巴西儿童的研究表明,这些儿童通过在街上兜售烤花生和椰子来帮助养家糊口,研究表明,孩子们经常在头脑中解决复杂的问题来计算账单或做出改变。
     
    因此,要接触这些天真的数学家,我们需要做的就是将微积分和轨道力学中的问题重铸成改变的同构问题。

    简单的。 我可以缩小成就差距。

    我现在可以骗几十亿吗?

    回复:@AnAnon

    “将微积分和轨道力学中的问题重铸为改变的同构问题。” – 你的数十亿,一旦你这样做。

  62. 乔卡·麦克弗森(Jokah Macpherson)
    Kurt Goedel 没有证明所有这些数学的基本原理就像 Principia Mathematica 还是导致了悖论? 这一切都在我的脑海中,但这是我从阅读霍夫施塔特时得到的总体印象。

    回复:@AnAnon,@Jim

    http://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_incompleteness_theorems

    “第一个不完备性定理指出,其定理可以通过“有效程序”(例如,计算机程序,但它可以是任何类型的算法)列出的公理的一致系统能够证明关于关系的所有真理。自然数(算术)。 对于任何这样的系统,总会有关于自然数的陈述是真实的,但在系统内是无法证明的。 第二个不完备性定理是第一个定理的扩展,表明这样的系统不能证明其自身的一致性。”

    • 回复: 吉姆
    @安安农

    第一个不完备性陈述等同于说初等算术的真实陈述不是递归可枚举的。 这就像说没有有限状态自动机的输出可以完全由初等算术的真实陈述组成。

    第二个不完备定理我不明白。 我从 Kleene 那里学习了数理逻辑,他参考了 Hilbert & Ackerman 对第二不完备定理的完整处理。 我从来没有读过希尔伯特和阿克曼。

    Goedel 还证明了 Tarski 关于真理不可定义性的定理(他从未在 Tarski 之前发表过该定理)。 任何重要数学理论的真值谓词都不能在理论中形式化。 因此,例如,基本算术的真实陈述集不能给出算术定义。 可以在说 Zermelo-Fraenkel 集合论中定义算术真理,但是 Zermelo-Fraenkel 集合论的真值谓词在 Zermelo-Fraenkel 集合论中是不可形式化的。

    似乎数学是有道理的,但理解它超出了人类的认知能力。

  63. @约翰·德比郡
    第五名及以上:埃瓦里斯特·伽罗瓦(Evariste Galois)确立了

    其实 亚伯 在1824中,何时 伽罗瓦 是13。

    彼得佩西奇写道 一本关于它的好书,我建议。

    回复:@dearieme、@International Jew、@grey 启蒙

    贝尔的数学家也说“亚伯”,如果有记忆的话——它并不总是这样。

    无论如何:微积分。 我们是在“建造铁路的最佳方式”的背景下学到的。 复数:我们以抽象的方式学习了这些,然后,噗!,e^(i*pi) = -1。 该死的地狱!!! 十六岁是什么感觉。

  64. 顺便说一句,精神病和数学之间存在联系。 偏执狂-精神分裂症似乎是这样的:约翰纳什、特德卡钦斯基、库尔特哥德尔、艾萨克牛顿等。

    看,你不想无数次给你一百美元的钞票找零,但至少他们不会在你的头骨上埋下锤子,如果他们得到一个 教科书上的数学题错了:

    同事们后来说,在罗格斯大学教授高等数学 29 年的 Petryshyn 自从意识到他在第二本出版的题为“广义拓扑度和半线性方程”的数学教科书中犯了一个错误后,一直处于精神混乱状态。 同事们还表示,他担心这个错误会让他成为嘲笑的对象。

    • 回复: @匿名的
    @文森特

    是的,我也讨厌犯错。

  65. 你对“实际”数字的偏好而不是“假装”数字让人想起年轻的荣格与代数的斗争,如在 梦想、回忆、反思。 从一个

    ......我对数学课感到彻头彻尾的恐惧。 老师假装代数是一件非常自然的事情,被认为是理所当然的,而我什至不知道数字到底是什么。 它们不是花,不是动物,不是化石; 它们不是任何可以想象的东西,仅仅是计数产生的数量。 ......奇怪的是,我的同学们可以处理这些事情并且发现它们是不言而喻的。 ……但最让我恼火的是这个命题:如果 a = b 和 b = c,那么 a = c,即使根据定义 a 意味着 b 以外的东西,并且不同,因此不能等同于b,更不用说c了。 每当涉及等价问题时,就会说a = a,b = b,依此类推。 这是我可以接受的,而 a = b 在我看来是彻头彻尾的谎言或欺诈。 …

    这是一篇很长的文章,但很有趣,值得一读。

  66. 考虑到在美国的华裔和印度学生的数学考试成绩如何,如果剔除这两个群体,移民的结果会很有趣。

  67. 并不是说我记得需要求解 n > 5 的多项式。

    牛顿的方法非常有效。 可能有很多蛮力技术有效但效率较低。 就像只是猜测一样。 您可以通过大量的猜测来磨练,当迹象发生变化时,您可以对其进行处理,直到它变得尽可能精确为止。 我相信有很多反例表明这是不好的。 使用蛮力或像牛顿这样的算法似乎比做大量代数更安全。

    “赔率向导”广泛使用模拟,尽管(在我看来)它们中的大多数都可以通过分析解决。

    http://wizardofodds.com/site/about/

    当涉及金钱时,您会发现模拟。

    • 回复: 吉姆
    @FWIW

    牛顿法是二阶的。 Ostrowski 的“方程的解”给出了一种适用于任何具有不同根的多项式的三阶方法。

    , 吉姆
    @FWIW

    Ostrowski 还对牛顿法进行了相当透彻的误差分析。

  68. • 回复: @Shuddh Bharatiyaan
    @面容

    当制造业外包时,蓝领工作就像做鸟一样。 以大薪水带回大工厂,我们将再次看到中产阶级的崛起。

    我们需要另一个没有古怪和腐败的亨利福特。

  69. 加拿大(安大略省)公立学校一路走来,从4年1974月年仅88岁的JK开始。XNUMX年的高中班。 [去凤凰城!] 从那时起两度,最重要的是不是 STEM。 虽然我确实记得有一段时间本科一年级的一些天文学计算和公式。

    该死。 仍然习惯了这样一个事实,即到明年,回到未来结尾提到的遥远的 30 年未来将在这里,并且没有任何反重力滑板、Fusion 先生汽车发动机等的迹象。

    现在这已经不成问题了……

    回想起来,我们在 1970 年代的某个时候经历了一定是对美国新数学的吸收,但在那个时候它似乎非常零星地实施并且取决于校长和教师的口味,并且一定已经消失或部分地消失了最好保留。 在不同的地方有很多关于集合的参考。 我不知道更不用说记住足够的东西来确定什么是新的或旧的。

    我也承认我从来都不是最擅长数学的人。 最糟糕的主题,有时我在概念层面上遇到了麻烦。 考虑到所有这些,我发现思考我现在能做什么和不能做什么,以及这对日常生活中的数学意味着什么是很有趣的。

    微积分、三角函数、几何和代数现在基本上已经从完全萎缩中消失了。 我很想念他们,“哇,这会很好记住,在某些情况下我会感觉更舒服一些”,但这对我的工作或日常生活来说并不担心。

    奇怪的是,作为一个很小的孩子,我对减法有困难的记忆很模糊,当然不是概念,而是在纸上做它的机制,而不是头脑法中的蛮力,更快。 我很快就把它放下了,但是一旦你停止在课堂上做纸上数学,它似乎也会消失。 我有时仍然必须让自己记住那个程序。 从来没有真正出现过,但这有点尴尬。 有趣的是,它比加法更难。再次,只是纸和铅笔的机制,而不是概念或准确的结果。

    我还记得有除法的东西。 不知何故,我首先学会了短除法,这让我觉得很容易,而且我在学习长除法的机制时遇到了麻烦。 一旦我学会了后者,我就与前者斗争。 哪个是新的,哪个是旧的,或者两者都是“旧的”,我不知道。 现在我可以毫不费力地做长除法,所以它一定是真的卡住了。 仍然不记得短除法程序。 与减法一样,无论如何都要在头上进行大多数日常除法。 如您所见,不是工程师。

    所以我认为数学是我们学习的科目之一,看看我们中的哪些人真正掌握了它,并将使我们的职业生涯在一个密切相关的领域,我们中的哪些人需要了解它作为了解人类知识广度和范围的一部分以及我们知道、保留和使用的东西如何适应这一点,我们中的哪些人需要意识到这一点,这样我们才能通过自己的努力,而不会完全不知道人类的成就和我们自己在其中的局限性。 但我们都需要某种基本的计算能力。

    我通常假设我已经成功地完成了第 2-4 项,并且我不需要更多,尽管我希望它在我的能力范围内更多。

    考虑到所有这些,我仍然广泛地愿意接受大多数人在日常生活中不需要超过某个特定点的数学,而这一点通常不包括微积分、三角学、几何学或代数。 尽管我也不想低估需要他们的专业领域的数量。 如果可以更有效地教授这些技能,我也不希望个人和社会保留更多这些技能不是更好,假设有这样的方法。 但总的来说,计数能力、对数字尺度、度量单位、分数/百分比和四个基本算术函数的熟悉对我很有帮助。 在我的愚蠢中,我认为这些技能在社会中无处不在。

    尽管有许多人不熟悉千、百万、十亿和万亿之间的区别,尽管人们无法做出改变或分辨正面和负面的区别,但我拒绝得出他们不是的结论[我不是说使用他们在算术上,或者,只是他们存在],这损害了他们对个人和公共财政的理解。

    然后我读了那个关于温度计的例子,并有一个可怕的想法,很可能有北美成年人是这样的。 与那些当时无法读取模拟时钟的人一样。 有了孩子,我至少可以理解。 他们可能从未见过任何量规的模拟形式。

    很抱歉,为了解决这个相当简单的问题而猛烈抨击。 回想起来,这似乎是徒劳的……

  70. 那个柠檬水的例子似乎是熟悉测试要求的情况之一。

    给定一组选择,我很容易认出 15+(2×15) 是正确的[我忘记添加运算顺序是我从代数中保留在核心内存中的东西; 去搞清楚]。 简单地告诉以算术形式写它,如果我觉得不够流鼻涕写 15,我可能会写 30+45。

    只是有点滑稽。

    尽管如此,如果一个会算数的公民能达到 45 岁,我会很满意,因为他们知道周日显然是最好的销售日,但要高出 2 倍。我承认基本的代数符号看起来很简单,他们想要的公式应该会出现对大多数人来说很容易。

  71. 跳过前戏#25-

    我没想到会在这篇文章中大声笑出来。 非常感谢。

  72. 直到我考入代数 II/三角(PSAT 成绩达到国家优秀水平)之前,我的数学都非常好,但我在处理数字方面比拥有数学学位的妻子更擅长。 我还上过天主教学校,在那里我们专注于从一年级到八年级的加法、减法、乘法和除法练习。 我的大多数同学都可以轻松地在头脑中做三位数的问题。 现在在学校里,重点是更高层次的概念,学生们都在努力解决个位数的乘法问题。 我看不到在不掌握基础知识的情况下进入代数或几何的好处。 事实上,我的大女儿和她的朋友们因为早期专注于应用题而在数学上遇到了困难。 为什么要给二、三年级的学生做几个单词问题而不是数百个简单的问题来掌握基础知识? 一旦掌握了基础知识,单词问题就变得容易了。

  73. @面容
    OT 和温和的 Sailerbait:

    http://www.newgeography.com/content/004440-to-fight-inequality-blue-states-need-to-shift-focus-to-blue-collar-jobs

    回复:@Shuddh Bharatiyaan

    当制造业外包时,蓝领工作就像做鸟一样。 以大薪水带回大工厂,我们将再次看到中产阶级的崛起。

    我们需要另一个没有古怪和腐败的亨利福特。

  74. @文森特
    顺便说一句,精神病和数学之间存在联系。 偏执狂-精神分裂症似乎是这样的:约翰纳什、特德卡钦斯基、库尔特哥德尔、艾萨克牛顿等。

    看,你不想无数次给你一百美元的钞票找零,但至少他们不会在你的头骨上埋下锤子,如果他们得到一个 教科书上的数学题错了:

    同事们后来说,在罗格斯大学教授高等数学 29 年的 Petryshyn 自从意识到他在第二本出版的题为“广义拓扑度和半线性方程”的数学教科书中犯了一个错误后,一直处于精神混乱状态。 同事们还表示,他担心这个错误会让他成为嘲笑的对象。

    回复:@Anonymous

    是的,我也讨厌犯错。

  75. @约翰·德比郡
    第五名及以上:埃瓦里斯特·伽罗瓦(Evariste Galois)确立了

    其实 亚伯 在1824中,何时 伽罗瓦 是13。

    彼得佩西奇写道 一本关于它的好书,我建议。

    回复:@dearieme、@International Jew、@grey 启蒙

    感谢您直截了当地记录。 但是伽罗瓦确实应该得到更多的赞誉😉

    • 回复: @约翰·德比郡
    @国际犹太人

    是的,我误读了:Abel 证明了 n=5,Galois 证明了所有 n>=5。

    伽罗瓦被过度浪漫化了,一个人本能地想要反驳任何人对他的任何赞美。 但是,是的,他应该得到很多。

    数学人 阅读非常有趣,没有它,世界会变得更穷; 但事实上,它有很多柔软的棕色斑点。

    , 吉姆
    @国际犹太人

    伽罗瓦表明可解性等同于方程的伽罗瓦群的可解性。 阿贝尔关于一般五次不可解的结果是此推论,因为一般五次具有 n 个字母上的对称群作为伽罗瓦群,并且当 n 大于 4 时该群不可解。

    群的可解性意味着群可以由阿贝尔群构成。 所以多项式方程是可解的,即它的解可以简化为 x^n = a 形式的方程,当且仅当它的伽罗瓦群可以从阿贝尔群构建。 Kronecker 的一个非常著名的定理断言,多项式(具有有理系数)的解可以简化为 x^n = 1 形式的方程,即当且仅当它的伽罗瓦群是阿贝尔群时,它是单位根的提取。

    由于二次方程的伽罗瓦群总是阿贝尔的,任何具有有理系数的二次方程都可以通过单位根来求解。 这相当于整数的平方根可以表示为单位根的有理线性组合。 高斯发现了著名的公式。

    据说,高斯花了四年的时间来证明这些公式,花了很多时间试图找到证明。 然后有一天,当他没有考虑这个问题时,他的脑海中突然闪过一个证据。 他在给 Bessel 的一封信中写道:“Wie der Blitzen einschragen,das Raechtsel is geloest”或类似的话——“随着灯光的照射,谜题就解开了。”

    回复:@International Jew

    , 吉姆
    @国际犹太人

    此外,拉格朗日在阿贝尔或伽罗瓦之前对根式解的存在性进行了非常深入的分析。 我不确定阿贝尔或伽罗瓦在多大程度上受到拉格朗日的影响,但是伽罗瓦理论中的很多思想都可以追溯到拉格朗日。

    当然,这三个人——拉格朗日、阿贝尔和伽罗瓦——都是非常伟大的数学家。

  76. @国际犹太人
    @约翰·德比郡

    感谢您直截了当地记录。 但是伽罗瓦确实应该得到更多的赞誉;-)

    回复:@John Derbyshire、@Jim、@Jim

    是的,我误读了:Abel 证明了 n=5,Galois 证明了所有 n>=5。

    伽罗瓦被过度浪漫化了,一个人本能地想要反驳任何人对他的任何赞美。 但是,是的,他应该得到很多。

    数学人 阅读非常有趣,没有它,世界会变得更穷; 但事实上,它有很多柔软的棕色斑点。

  77. 我可能会从这里的 STEM 人员那里得到一些批评,但我的看法是,语言只是 更难,并且可能是比数学更好的智商预测指标。 如果美国人数学很烂,请放心,他们甚至 更坏 在写作、语法和阅读方面。 但我认为我们只是对两位数的 IQ 大众期望过高。 研究表明,HS 毕业生的平均智商约为 100,因此很多人应该会失败。 更严格的标准将意味着更多的失败,或者更多的溺爱让慢孩子赶上。 前者不利于学生的士气,后者更会推高教育成本。

    • 回复: @Shuddh Bharatiyaan
    @灰色启示

    “我可能会从这里的 STEM 人员那里得到一些批评,但我的看法是,语言更难,而且可能比数学更能预测智商。如果美国人数学不好,请放心,他们在写作、语法和阅读。”

    盖茨聘请的 CC 作家/创作者提到 CC 也有语言问题。 该计划是在学校热火朝天地实施的,没有对其功效进行任何测试。 学生是试管,十年后才能看到结果。

  78. @约翰·德比郡
    第五名及以上:埃瓦里斯特·伽罗瓦(Evariste Galois)确立了

    其实 亚伯 在1824中,何时 伽罗瓦 是13。

    彼得佩西奇写道 一本关于它的好书,我建议。

    回复:@dearieme、@International Jew、@grey 启蒙

    根式(对于特殊情况)或椭圆曲线的五次解是一个美丽的景象

  79. 1960 年代的“新数学”包括大量计算机数学,因为人们认为计算机可能在社会中变得重要。

    科目包括二进制算术、矩阵代数、布尔代数、符号逻辑、谓词演算,我认为还有一些统计学。

    哦,愚蠢地认为计算机会成为社会更重要的一部分!

  80. “命令犹太寡头为 5 年代抢劫俄罗斯支付 1990 万亿美元怎么样? 命令犹太复国主义者向窃取巴勒斯坦的巴勒斯坦人支付 10 万亿美元怎么样?”

    老实说:愚蠢的想法。 如果这种情况发生,我们都必须向黑人支付赔偿。 他们至少有一个很好的案例。

  81. @灰色启示
    我可能会从这里的 STEM 人员那里得到一些批评,但我的看法是,语言只是 更难,并且可能是比数学更好的智商预测指标。 如果美国人数学很烂,请放心,他们甚至 更坏 在写作、语法和阅读方面。 但我认为我们只是对两位数的 IQ 大众期望过高。 研究表明,HS 毕业生的平均智商约为 100,因此很多人应该会失败。 更严格的标准将意味着更多的失败,或者更多的溺爱让慢孩子赶上。 前者不利于学生的士气,后者更会推高教育成本。

    回复:@Shuddh Bharatiyaan

    “我可能会从这里的 STEM 人员那里得到一些批评,但我的看法是语言更难,而且可能比数学更好地预测智商。 如果美国人数学很烂,请放心,他们在写作、语法和阅读方面会更差。”

    盖茨聘请的 CC 作家/创作者提到 CC 也有语言问题。 该计划是在学校热火朝天地实施的,没有对其功效进行任何测试。 学生是试管,十年后才能看到结果。

  82. 你几乎不会从我那里得到任何关于语言更难的论点。 两年半前我写了一篇关于它的文章: https://educationrealist.wordpress.com/2012/01/28/the-gap-in-the-gre/ 史蒂夫把它链接了——事实上,这是我的第一个大链接。

    我记得在一些 PD 课上,我看到了一张图表,我希望我能得到一份副本和引用,尽管它很直观:我们的高中英语难度显着 *较少的* 比高层需要的多,而我们高中水平的数学显着 *更多的* 比需要的。

    那是因为如果我们要说我们教高等数学,我们需要正确的答案。 如果我们要说我们教高级英语,我们可以假装它。

    关于伽罗瓦——我知道我的预计算书说伽罗瓦,所以它一定是 N>5。

    • 回复: @卡尔G.
    @教育现实主义者

    @教育现实主义者

    尽管来自顶级课程,但我只有数学学士学位。 但我有信心有足够的时间和精力,我可以在有意义的意义上解析和理解最困难的文学文本。 对于一些更高级别的数学,情况并非如此,尽管我能够遵循证明的逻辑,但再多的学习也不会让我有深刻而直观的理解。 顺便说一句,我 95 岁之前的 GRE 是 750。我的数学是 800。这反映了数学部分的低技能上限,而不是数学上限的指示。 我不认为普通人有任何概念纯数学可以是多么深奥。 大学大一和大二学生所教授的微积分和多元微积分在难度方面被认为是数学世界中字母表的水平,即使有任何夸张,也毫不夸张。

    我读过你的博客。 根据您相对较少的数学教育水平,您对数学难度做出知情评估的舒适度如何? 你似乎有根据缺乏信息提出大胆主张的倾向。

    回复:@Seneca

  83. @教育现实主义者
    你几乎不会从我那里得到任何关于语言更难的论点。 两年半前,我写了一篇关于它的文章:https://educationrealist.wordpress.com/2012/01/28/the-gap-in-the-gre/ 史蒂夫把它链接进去——这是我的第一个大链接,事实上。

    我记得在某个 PD 课上,我看到了一个图表,我希望我能得到一份副本和引用,尽管它具有直观的意义:我们的高中英语难度明显*低于*顶级梯队所需,而我们的高中水平的数学比需要的要多得多。

    那是因为如果我们要说我们教高等数学,我们需要正确的答案。 如果我们要说我们教高级英语,我们可以假装它。

    关于伽罗瓦——我知道我的预算书说伽罗瓦,所以它一定是 N>5。

    回复:@Carl G。

    @教育现实主义者

    尽管来自顶级课程,但我只有数学学士学位。 但我有信心有足够的时间和精力,我可以在有意义的意义上解析和理解最困难的文学文本。 对于一些更高级别的数学,情况并非如此,尽管我能够遵循证明的逻辑,但再多的学习也不会让我有深刻而直观的理解。 顺便说一句,我 95 岁之前的 GRE 是 750。我的数学是 800。这反映了数学部分的低技能上限,而不是数学上限的指示。 我不认为普通人有任何概念纯数学可以是多么深奥。 大学新生和大二学生所教授的微积分和多元微积分在难度方面被认为是数学世界中字母表的水平,即使有任何夸张,也毫不夸张。

    我读过你的博客。 根据您相对较少的数学教育水平,您对数学难度做出知情评估的舒适度如何? 你似乎有根据缺乏信息提出大胆主张的倾向。

    • 回复: @塞内卡
    @卡尔G.

    我同意你的评论。 我在 Verbal GRE 和数学 GRE 上得了 780 分(都是 720 年之前的),我记得我在大学时在一些高级数学课程上遇到了一些障碍。 数学 GRE 分数虽然不是特别高,但还是很不错的。

    作为一名本科生,我可以遵循大多数证明的逻辑,例如康托尔定理,但作为一名本科生,我无法直观地理解和掌握这些更高层次的数学定理。 由于付出了巨大的努力,我在这些高级数学课程中的成绩很好,但我知道我没有天赋,而且我的理解水平开始碰壁。

    当你直觉地掌握和理解某事的能力最终碰壁时,这是一个令人谦卑的顿悟。 正如《肮脏的哈利》中的克林特·伊斯特伍德曾经说过的那样……“一个人必须了解自己的局限性。”

    高级数学不是很直观,除非你是很有天赋的 IMO。

    回复:@Jim

  84. 我读过你的博客。 根据您相对较少的数学教育水平,您对数学难度做出知情评估的舒适度如何? 你似乎有根据缺乏信息提出大胆主张的倾向。

    我很确定他们是顶尖的数学家和物理学家,他们与史蒂夫一样对 1960 年代的“新数学”运动持批评态度。 我记得莫里斯·克莱恩和理查德·费曼也很重要。

    • 回复: @卡尔G.
    @空腹的燕子

    我的帖子是为了回应教育现实主义者声称语言比数学更难的说法。 我对我知之甚少的新数学没有意见。 具有任何自然数学能力的雄心勃勃的学生通常会通过大学找到进入严格 STEM 领域的途径。 他们是否选择将其作为职业是另一回事,与小学的教学方法无关。 也许这是一种幼稚的看法,但我对这件事并没有强烈的感情,尤其是作为一个在学校很少注意,但可以自己解决问题的人。

  85. @空腹的燕子
    我读过你的博客。 根据您相对较少的数学教育水平,您对数学难度做出知情评估的舒适度如何? 你似乎有根据缺乏信息提出大胆主张的倾向。

    我很确定他们是顶尖的数学家和物理学家,他们和史蒂夫一样对 1960 年代的“新数学”运动持批评态度。 我记得莫里斯·克莱恩和理查德·费曼也很重要。

    回复:@Carl G。

    我的帖子是为了回应教育现实主义者声称语言比数学更难的说法。 我对我知之甚少的新数学没有意见。 具有任何自然数学能力的雄心勃勃的学生通常会通过大学找到进入严格 STEM 领域的途径。 他们是否选择将其作为职业是另一回事,与小学的教学方法无关。 也许这是一种幼稚的看法,但我对这件事并没有强烈的感情,尤其是作为一个在学校很少注意,但可以自己解决问题的人。

  86. @卡尔G.
    @教育现实主义者

    @教育现实主义者

    尽管来自顶级课程,但我只有数学学士学位。 但我有信心有足够的时间和精力,我可以在有意义的意义上解析和理解最困难的文学文本。 对于一些更高级别的数学,情况并非如此,尽管我能够遵循证明的逻辑,但再多的学习也不会让我有深刻而直观的理解。 顺便说一句,我 95 岁之前的 GRE 是 750。我的数学是 800。这反映了数学部分的低技能上限,而不是数学上限的指示。 我不认为普通人有任何概念纯数学可以是多么深奥。 大学大一和大二学生所教授的微积分和多元微积分在难度方面被认为是数学世界中字母表的水平,即使有任何夸张,也毫不夸张。

    我读过你的博客。 根据您相对较少的数学教育水平,您对数学难度做出知情评估的舒适度如何? 你似乎有根据缺乏信息提出大胆主张的倾向。

    回复:@Seneca

    我同意你的评论。 我在 Verbal GRE 和数学 GRE 上得了 780 分(都是 720 年之前的),我记得我在大学时在一些高级数学课程上遇到了一些障碍。 数学 GRE 分数虽然不是特别高,但还是很不错的。

    作为一名本科生,我可以遵循大多数证明的逻辑,例如康托尔定理,但作为一名本科生,我无法直观地理解和掌握这些更高层次的数学定理。 由于付出了巨大的努力,我在这些高级数学课程中的成绩很好,但我知道我没有天赋,而且我的理解水平开始碰壁。

    当你直觉地掌握和理解某事的能力最终碰壁时,这是一个令人谦卑的顿悟。 正如克林特·伊斯特伍德饰演的肮脏哈利曾经说过的那样……“一个人必须了解自己的局限性。”

    高级数学不是很直观,除非你是很有天赋的 IMO。

    • 回复: 吉姆
    @塞内卡

    是的,你是对的,直觉只能让你在数学上走这么远。 在某些时候,非常奇怪的事情开始发生。 我记得当我得知在 3 维和更高维度中存在可定向流形时,我感到很惊讶,其中两个方向类不同
    从彼此。 右边和左边不一样! 在这些流形中,n>=2 时有 CPn。 当上同调中的杯积可用时,一个简单的代数论证表明,当 n>=2 时,CPn 不承认任何反转同胚。 尽管代数论证很简单,但似乎没有直观的理由期待这一点。 相同的现象发生在维度 3 中的某些透镜空间中。当您将这些歧管粘合在一起时,您会得到不同的结果,具体取决于您在粘合之前如何定位它们。 像这样的事情不会在二维中发生。 当您将两个花托连接在一起制作椒盐脆饼时,无论您是从内部还是外部粘合都没有区别。 但是从二维情况中获得的直觉在更高维度上会产生误导。

  87. 乔卡·麦克弗森(Jokah Macpherson)
    Kurt Goedel 没有证明所有这些数学的基本原理就像 Principia Mathematica 还是导致了悖论? 这一切都在我的脑海中,但这是我从阅读霍夫施塔特时得到的总体印象。

    回复:@AnAnon,@Jim

    这绝对是在你的头上。

  88. @安安农
    乔卡·麦克弗森(Jokah Macpherson)

    http://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_incompleteness_theorems

    “第一个不完备性定理指出,其定理可以通过“有效程序”(例如,计算机程序,但它可以是任何类型的算法)列出的公理的一致系统能够证明关于关系的所有真理自然数(算术)。对于任何这样的系统,总会有关于自然数的陈述是真实的,但在系统内无法证明。第二个不完备性定理,第一个的扩展,表明这样的系统不能证明它自己的一致性。”

    回复:@Jim

    第一个不完备性陈述等同于说初等算术的真实陈述不是递归可枚举的。 这就像说没有有限状态自动机的输出可以完全由初等算术的真实陈述组成。

    第二个不完备定理我不明白。 我从 Kleene 那里学习了数理逻辑,他参考了 Hilbert & Ackerman 对第二不完备定理的完整处理。 我从来没有读过希尔伯特和阿克曼。

    哥德尔还证明了塔斯基关于真理不可定义性的定理(在塔斯基之前,他从未有时间发表它)。 任何重要数学理论的真值谓词都不能在理论中形式化。 因此,例如,基本算术的真实陈述集不能给出算术定义。 可以在说 Zermelo-Fraenkel 集合论中定义算术真理,但是 Zermelo-Fraenkel 集合论的真值谓词在 Zermelo-Fraenkel 集合论中是不可形式化的。

    似乎数学是有道理的,但理解它超出了人类的认知能力。

  89. @幕后花絮
    解决应用题需要一个“g”水平,不是每个人都有也不能教。 像蝴蝶这样的算法是可以教授的,对那些无法自己解决问题的人很有用。

    因此,我比大多数人更喜欢算法学习。 你不能让人们变得更聪明,但你可以教他们如何解决特定类型的问题。 超级天才将能够在他的脑海中整合像 x^2 tan(x) 这样的表达式。 我们这些凡人需要分部整合。

    回复:@jim

    你的意思是 x tan^2(x) 吗?

  90. @庄园
    @里德

    这不是许多大学生,更不用说孩子,真正能够应付的事情了。
    ---------------

    真的吗? 您需要博士学位或一些专业培训来怀疑 1+1 = 2? 你要投降
    这是直觉的基本领域,因为只有专家才能对此持有意见。 我希望不是。

    就个人而言,我怀疑 1 + 1 = 2,因为我能想到一些似乎并不适用的例子
    工作。 就像一个苹果加一个苹果不等于两个,如果一个苹果碰巧在我有机会将它们加在一起之前被吃掉了。 我很好。 不需要通过拉塞尔和怀特黑德去尝试寻找缺陷,因为我认为他们没有比我更好的经验。

    回复:@Jim

    没有人,尤其是罗素或怀特黑德,怀疑 1 + 1 = 2。《原理》中的内容远不止 1 + 1 =2。

    • 回复: @庄园
    吉姆

    David Hume 会怀疑 1 + 1 = 2。或者 1 + 1 = 2 在所有情况下都有效。 它实际上并不完美地适用于任何现实世界的情况。
    如果你说它是真的,那么 1 + 1 = 2 是真的,即,重言式——数字代表什么,只是符号。

    回复:@Jim

  91. @教育现实主义者
    “在我的教育生涯中,我被教导要考虑五六次,但我仍然不知道它是什么或它做了什么”

    我假设您的意思是分解三项式? 这是一位不是数学家的数学老师来回答。

    保理是将总和转换为乘积的过程。 这样做有两个主要原因,可以说这两个原因都没有图形计算器之前那么重要。

    1)我们没有超过二阶多项式的广义解。 我们有一些用于特定立方体形式的方法,并且可能有一些用于四次的方法(即使是那些不适合二次形式的方法)。 已经证明,没有超过 4 次的广义解(或者是 2 次?嘿,现在是夏天。)所以找到大于 XNUMX 次的多项式的解通常需要某种形式的猜测和检查——无论是因子或者,如果它是素数,则只是缩小范围。笛卡尔符号规则、有理根定理等是缩小可能性的工具。

    2)有理表达式的分子和分母可能有公因数,这意味着不连续而不是渐近线。

    我不知道这是如何在现实世界中使用的,而且我确信我给出的解释是缺少一些东西。 我是英语专业的。

    你们中那些主张更多应用数学、更少理论的人——过去,我们只向即将上大学的孩子教授高级数学,因为你必须通过微积分才能读完大学。 因此,如果您没有通过微积分学习数学的技能,那么最好在上大学之前了解它。

    在这一点上,不仅不需要微积分,而且你甚至不需要数学课来获得大多数学位。 大学仍在拼命尝试通过识别甚至无法通过补习数学的人来保持学位的信号价值。 然而,最近的事态发展使这变得困难,因为你通过补习数学*之后的课程非常容易。 一些证明具有补习水平技能的学生能够通过非补习班的研究已经发表。 所以现在有人争辩说补习班只是废话,只是把关,我们应该让每个人都通过。

    但补救措施在很大程度上不受种族平衡压力的影响,因为它混合了多种因素:AP 课程、SAT 或 ACT 分数、分班考试。 让每个人都通过,教授和讲师将承受“​​公平”通过率的巨大压力。

    大学学位现在不是什么大信号,但补救措施已经受到了巨大的攻击。 高中对高等数学的最终要求,我们只是缺乏可靠的指标。

    解决方案:要求大学文凭的微积分,无论学位,使用测试。

    与此同时,虽然,所有这些谈话在技术上都是正确的,但是男孩,考虑到我们已经想搞砸社会,你们都在扯最后几个保护大学学位的渣滓。

    回复:@International 犹太人,@Jim

    地位竞争的根本问题是地位的供给是完全固定的。 它不响应需求或技术创新。 因此,在每个人都拥有大学学位之后,拥有这样的学位将毫无用处,因为它不会提供任何地位。 然后要获得地位,您必须获得博士学位或其他任何东西。

    灵长类社会中地位竞争的本质是几乎每个人几乎一直都是失败者。

  92. @国际犹太人
    @教育现实主义者

    “1)我们没有超过二阶多项式的广义解决方案。我们有一些针对特定立方体形式的方法,并且可能有一些用于四次的方法(即使是那些不适合二次形式的)。它已经被证明没有超过五度的广义解决方案(或者是四度?嘿,现在是夏天)“

    第五名及以上:Evariste Galois 确立了这一点,它仍然是数学史上最伟大的成就之一。 至于 3 级和 4 级,这些都有完全通用的公式。 但是这些公式会产生非常混乱的结果。 所以他们很少(如果有的话?)在学校里。

    回复:@Jim

    在伽罗瓦之前,阿贝尔证明了一般五次方不能用根式解决。 一般五次方程可以通过模函数来求解。

  93. @教育现实主义者
    IJ--谢谢。 在我的预计算课上,我总是指出伽罗瓦(在我查到它之前永远不记得他的名字)。 我永远不记得有完全概括的形式,因为这本书没有显示它们。 我们得到一个“抑郁立方体”公式的例子,并比较公式以猜测和检查——后者获胜。

    对于那些心想事成的人,一个不知道这些东西的数学老师! 好吧,我知道它教它。 我一年前才开始教 pre-calc,所以我对数学分析的更深的理解是比较不稳定的。

    但是对于坐在预科班上的普通孩子来说,他们知道他们不太可能再次使用这个,这就是我要指出的:

    到目前为止,在你的数学教育中,你已经花了 2-3 年的时间学习一级方程,2 年的时间学习二级方程,一年左右的时间学习指数方程。 您可能认为在更高级的数学中,您会学习第三学位,然后是第四学位,然后当您学习微积分时,天哪,您已经获得了第五和第六学位! 因为你真的在外面,宝贝。

    但事实证明,多项式更像多边形。 您将详细了解三角形、圆形和四边形。 然后事实证明,一旦你超过了四个边,一切都只不过是越来越多的三角形——这就是为什么我们花这么多时间把三角形的事实打到你的脑海里。 当你离开几何时,你已经模糊地发现三角形和圆形占了球赛的 90%,平行四边形也有一些用处。

    同样,您会在线性和二次项上花费大量时间,因为它们是更高次多项式的构建块。

    我认为,这就是受过教育的非数学家需要从数学分析中拿走的东西,以及理解这一点之后的重要数学定理涉及更快地分解多项式的工具。

    然而,问题仍然存在,这项研究在我们可以绘制所有内容并如此迅速地看到它的世界中是否有任何相关性? 我记得在阅读 Laura Ingalls Wilder 的书时,孩子们很快就会在他们的脑海中找到平方根。 天哪,我们不能那样做。 但我们不需要,因为我们有计算器和计算尺之前。

    今天,孩子们的智能手机计算器开始包含日志库选项。 所以你可以输入 log(3,15),它是以 15 为底的 3 的对数。我的意思是,天哪。 据我所知,我们教改变基本公式的全部原因是为了让我们可以把方程变成以 10 为底的,因为我们的表格(现在,我们的计算器)需要它。 假装我们需要对数属性或正弦和余弦角加法公式已经是一个延伸,这些公式也是在计算器出现之前设计的。

    所以就像我们停止教孩子如何求平方根一样,我们是否要停止教孩子对数属性和三角属性? 数学分析是我们不需要的吗?

    回复:@Jim

    EdRealist – 你对多项式的数学一无所知。

  94. @FWIW
    http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method#mediaviewer/File:NewtonIteration_Ani.gif

    并不是说我记得需要求解 n > 5 的多项式。

    牛顿的方法非常有效。 可能有很多蛮力技术有效但效率较低。 就像只是猜测一样。 您可以通过大量的猜测来磨练,当迹象发生变化时,您可以对其进行处理,直到它变得尽可能精确为止。 我相信有很多反例表明这是不好的。 使用蛮力或像牛顿这样的算法似乎比做大量代数更安全。

    “赔率向导”广泛使用模拟,尽管(在我看来)它们中的大多数都可以通过分析解决。

    http://wizardofodds.com/site/about/

    当涉及金钱时,您会发现模拟。

    回复:@Jim,@Jim

    牛顿法是二阶的。 Ostrowski 的“方程的解”给出了一种适用于任何具有不同根的多项式的三阶方法。

  95. @FWIW
    http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method#mediaviewer/File:NewtonIteration_Ani.gif

    并不是说我记得需要求解 n > 5 的多项式。

    牛顿的方法非常有效。 可能有很多蛮力技术有效但效率较低。 就像只是猜测一样。 您可以通过大量的猜测来磨练,当迹象发生变化时,您可以对其进行处理,直到它变得尽可能精确为止。 我相信有很多反例表明这是不好的。 使用蛮力或像牛顿这样的算法似乎比做大量代数更安全。

    “赔率向导”广泛使用模拟,尽管(在我看来)它们中的大多数都可以通过分析解决。

    http://wizardofodds.com/site/about/

    当涉及金钱时,您会发现模拟。

    回复:@Jim,@Jim

    Ostrowski 还对牛顿法进行了相当透彻的误差分析。

  96. @国际犹太人
    @约翰·德比郡

    感谢您直截了当地记录。 但是伽罗瓦确实应该得到更多的赞誉;-)

    回复:@John Derbyshire、@Jim、@Jim

    伽罗瓦表明可解性等同于方程的伽罗瓦群的可解性。 Abel 关于一般五次方不可解的结果是此推论,因为一般五次方具有 n 个字母上的对称群作为伽罗瓦群,并且当 n 大于 4 时该群不可解。

    群的可解性意味着群可以由阿贝尔群构成。 所以多项式方程是可解的,即它的解可以简化为 x^n = a 形式的方程,当且仅当它的伽罗瓦群可以从阿贝尔群构建。 Kronecker 的一个非常著名的定理断言,多项式(具有有理系数)的解可以简化为 x^n = 1 形式的方程,即当且仅当它的伽罗瓦群是阿贝尔群时,它是单位根的提取。

    由于二次方程的伽罗瓦群总是阿贝尔的,任何具有有理系数的二次方程都可以通过单位根来求解。 这相当于整数的平方根可以表示为单位根的有理线性组合。 高斯发现了著名的公式。

    据说,高斯为证明这些公式奋斗了四年,花了很多时间试图找到证据。 然后有一天,当他没有考虑这个问题时,他的脑海中突然闪过一个证据。 他在给 Bessel 的一封信中写道:“Wie der Blitzen einschragen,das Raechtsel is geloest”或类似的话——“随着灯光的照射,谜题就解开了。”

    • 回复: @国际犹太人
    吉姆

    您可能刚刚链接到 Wikipedia,但碰巧您对此感到困惑,它为我们提供了更有价值的贡献,这是该线程的一个更突出的主题。

    回复:@Jim

  97. 吉姆
    @国际犹太人

    伽罗瓦表明可解性等同于方程的伽罗瓦群的可解性。 阿贝尔关于一般五次不可解的结果是此推论,因为一般五次具有 n 个字母上的对称群作为伽罗瓦群,并且当 n 大于 4 时该群不可解。

    群的可解性意味着群可以由阿贝尔群构成。 所以多项式方程是可解的,即它的解可以简化为 x^n = a 形式的方程,当且仅当它的伽罗瓦群可以从阿贝尔群构建。 Kronecker 的一个非常著名的定理断言,多项式(具有有理系数)的解可以简化为 x^n = 1 形式的方程,即当且仅当它的伽罗瓦群是阿贝尔群时,它是单位根的提取。

    由于二次方程的伽罗瓦群总是阿贝尔的,任何具有有理系数的二次方程都可以通过单位根来求解。 这相当于整数的平方根可以表示为单位根的有理线性组合。 高斯发现了著名的公式。

    据说,高斯花了四年的时间来证明这些公式,花了很多时间试图找到证明。 然后有一天,当他没有考虑这个问题时,他的脑海中突然闪过一个证据。 他在给 Bessel 的一封信中写道:“Wie der Blitzen einschragen,das Raechtsel is geloest”或类似的话——“随着灯光的照射,谜题就解开了。”

    回复:@International Jew

    你可能刚刚链接到维基百科,但碰巧你对它的困惑,它为我们提供了更有价值的贡献,这是这个线程的一个更突出的主题。

    • 回复: 吉姆
    @国际犹太人

    我为在应该是“它的”而写“它的”而道歉。 我不知道维基百科对此有何评论。

  98. 吉姆
    @庄园

    没有人,尤其是罗素或怀特黑德,怀疑 1 + 1 = 2。《原理》中的内容远不止 1 + 1 =2。

    回复:@Hacienda

    David Hume 会怀疑 1 + 1 = 2。或者 1 + 1 = 2 在所有情况下都有效。 它实际上并不完美地适用于任何现实世界的情况。
    如果你说它是真的,那么 1 + 1 = 2 是真的,即,重言式——数字代表什么,只是符号。

    • 回复: 吉姆
    @庄园

    休谟在哪里表达了对 1 + 1 = 2 的怀疑? 数字不代表任何东西。 符号“1”代表数字 1。

    回复:@Hacienda

  99. 德州式应用题,小学水平:

    老师:你有十个巧克力蛋糕,有人要你两个。 你还剩多少?
    学生:十。

    师:你有十个巧克力蛋糕,有人强行拿走两个。 你还剩多少?
    学生:十个和一具尸体。

  100. 卖法拉利怎么样? AR-15? 快艇?

    你是一名士兵,并射击了几个敌方士兵。 如果 AR-15 杀死 80% 的目标,其余的则受伤。 在受伤的人中,30% 的人仍然可以装死,直到你走过并且他们可以向你开枪。 射击它们后,你有 35% 的机会从它们身边走过。 你必须杀死多少敌人,平均而言,你的时间到了?

  101. 他们真正应该做的是挑选 100 所学校,按种族、SES、IQ 划分标准,并尝试 100 种不同的可能教育方法。 看看聪明孩子、中等孩子和慢孩子的表现如何。 然后,在相对于潜在其他因素的更好方法让自己为人所知之后,用这些更好的方法对更多学校进行更多测试,看看它们的效果如何。 无论哪一个获胜,都会在所有其他学校得到复制。 也许对不同的流采用不同的方法。 这将需要几年的时间,但除了图书出版商之外,每个人的结果都会更好。

  102. “你可能只是链接到维基百科,但碰巧你对它的困惑,它为我们提供了更有价值的贡献 什么,是一个更多 这个主题的突出主题。”

    伙计,就像,你句子中间的那个逗号是做什么的? 他们称之为某种运行或悬垂的sump'in? 接下来你知道你会像一个真正的工程师一样写工程师!

    • 回复: @国际犹太人
    @anonymous

    是的,对不起,这是我的手机键盘与 Javascript 交互不佳。

    但是借用温斯顿丘吉尔的话,今天早上我重新启动了我的手机,而吉姆可能仍然不知道它是什么。

  103. @教育现实主义者
    关于单词问题:厌女症正在变得愚蠢。

    首先,我想说的是单词问题仍然是高中老师教得最少的领域。 我的同事经常告诉我,他们的孩子只是断然拒绝做文字问题,如果他们坚持就会失败。 无论如何,他们比我失败的孩子多得多。

    因此,我们将文字问题变成让男孩厌烦的少女情境的想法不仅是错误的,而且是愚蠢的错误。 在高中,许多数学老师几乎没有像他们应该做的那样经常做文字问题——这是对高中数学更合理的批评之一。 孩子们知道高等数学的公式,但理解有限。

    在我的课上,我从单词问题开始每个部分。 (二次方程是最难简单建模的)。 我最弱的孩子们惊讶地发现他们发现这很有帮助,并且经常在我的课结束时意识到他们比任何东西都更擅长文字问题,因为它给了他们一个参考框架——我特别是在谈论线性建模。 这是我教它的方法:https://educationrelist.wordpress.com/2013/02/16/modeling-linear-equations-part-3/

    结果,我的课程被认为很容易通过,但很难获得A。我觉得这很难理解。 我的同事们做了这些五六页的测试,里面充满了比我想象中更难的问题。 我的测试是两页,偶尔是三页。 孩子们说我是残酷的,除了能力最低的孩子,他们觉得他们可以管理。 我很困惑,但初步得出结论,更难的测试涵盖了孩子们再也看不到的材料,所以有动力记住足够长的时间来进行测试。 能力较低的孩子无法做到这一点,所以做得不好。 另一方面,我的测试贯穿课程的所有材料,所以如果你是那种只记住的人,那你就完蛋了。

    这篇长篇大论的重点是 a) 许多高中老师从不做文字题,或者很少做。 我不会质疑我的倾向于直截了当——我不是 Dan Meyer。 b)教科书提供了*吨*的文字问题,虽然我偶尔不喜欢它们,但这并不是因为它们太少女了。 文本已经擅长在各种各样的情况下提出单词问题。

    所以你们都在谈论柠檬水摊位是错误的,这是一种普遍的方法。 可能有些老师会强调女孩可能更喜欢的方法,但说真的,如果你是一个无法应付柠檬水摊的男人,那就培养一对吧。

    二次方程和指数方程建模示例:
    https://educationrealist.wordpress.com/2013/12/16/the-negative-16-problems-and-educational-romanticism/

    https://educationrealist.wordpress.com/2013/05/05/modeling-exponential-growthdecay-interspersed-with-a-reform-rant/

    最后一件事:细心的读者会注意到,我绝不是一个基于公式的老师。 然而,我认为格林的文章是彻头彻尾的、深刻的废话,它是由想要在教育市场分一杯羹的改革者和商界人士资助的。 物有所值。

    回复:@Shuddh Bharatiyaan

    很棒的评论!

    我都赞成以各种方式呈现数学,以便不同能力和学习风格的孩子有一个适合他们的参考框架。

    对共同核心的批评之一是它提供了许多替代方法来解决问题并得出答案。 我说的越多越好,因为对一个孩子有意义的事情可能对另一个孩子没有意义,而且通常也没有意义。

    Common Core 确实存在严重问题,但这不是其中之一。

  104. “基于你相对微薄的数学教育水平,你对数学难度做出知情评估的舒适度如何?”

    1)我的数学教育水平不是比较低,而是不存在。

    2)我没有做出明智的评估。 如果你阅读了你说你做过的链接,你会看到我指出口头高分远低于数学高分。 一般来说,某件事发生的频率越低,我们就越有可能称该成就“更难”。 我欣然承认深奥数学的难度。

    ” 我可以在有意义的意义上解析和理解最困难的文学文本。 ”

    大概。 所以? 正如我所说,语言技能不是“阅读能力”。 请注意,你是在做你指责我的事情——在没有真正理解它是什么的情况下对语言能力进行“知情评估”。

    而且,为了记录,我真的,真的,真的远非一个“普通人”,非常感谢。

    “你对多项式的数学一无所知。”

    我很确定这不是真的。 真实的是,我对数学家使用的多项式数学一无所知。 不深刻。 但还是。 但是,显然,我的描述非常准确。

    我会这样说:我不擅长用让数学家高兴的方式来描述数学。 不止一次,无论是在学校还是在 PD,我都说过一些话,而一位数学老师或数学家自信地说:“不,那是完全错误的。” 我皱起眉头说X不是真的? 是不是真的? 他们又看了看,说:“哦。 是的。 好吧,你是对的。” 我怀疑这就是为什么我在高等数学方面做得不好的原因。 我对数学的理解与数学家截然不同,这就是为什么我必须自学我所知道的。

    我的一些学生继续学习高等数学,他们总是说我很有帮助。 我对此很满意。

    它是“方程”。

    • 回复: @卡尔G.
    @教育现实主义者


    2)我没有做出明智的评估。 如果你阅读了你说你做过的链接,你会看到我指出口头高分远低于数学高分。 一般来说,某件事发生的频率越低,我们就越有可能称该成就“更难”。 我欣然承认深奥数学的难度。
     
    您对统计数据的理解以及如何正确解释它们是缺乏温和的。 我鼓励人们访问 EdRealist 的网站,看看我在说什么。

    我们为什么不从头开始。 确切地说,“语言比数学难”是什么意思? 你的意思是说它是一个更好的智商预测指标吗? 你有什么证据? 当然,您不打算提供您的 GRE 职位作为佐证吗? 为什么首先提出来? 那么更多的轶事呢?


    我没有评论您对多项式的无知。 那是另一张海报。
  105. @教育现实主义者
    “基于你相对微薄的数学教育水平,你对数学难度做出知情评估的舒适度如何?”

    1)我的数学教育水平不是比较低,而是不存在。

    2)我没有做出明智的评估。 如果你阅读了你说你做过的链接,你会看到我指出口头高分远低于数学高分。 一般来说,某件事发生的频率越低,我们就越有可能称该成就“更难”。 我欣然承认深奥数学的难度。

    “我可以在有意义的意义上解析和理解最困难的文学文本。”

    大概。 所以? 正如我所说,语言技能不是“阅读能力”。 请注意,你就是在做你指责我的事情——在没有真正理解它是什么的情况下对语言能力进行“知情评估”。

    而且,为了记录,我真的,真的,真的远非一个“普通人”,非常感谢。

    “你对多项式的数学一无所知。”


    我很确定这不是真的。 真实的是,我对数学家使用的多项式数学一无所知。 不深刻。 但还是。 但是,显然,我的描述非常准确。

    我会这样说:我不擅长用让数学家高兴的方式来描述数学。 不止一次,无论是在学校还是在 PD,我都说过一些话,而一位数学老师或数学家自信地说:“不,那是完全错误的。” 我皱起眉头说X不是真的? 是不是真的? 他们又看了看,说:“哦。是的。好吧,你是对的。” 我怀疑这就是为什么我在高等数学方面做得不好的原因。 我对数学的理解与数学家截然不同,这就是为什么我必须自学我所知道的。

    我的一些学生继续学习高等数学,他们总是说我很有帮助。 我对此很满意。

    它是“方程”。

    回复:@Carl G。

    2)我没有做出明智的评估。 如果你阅读了你说你做过的链接,你会看到我指出口头高分远低于数学高分。 一般来说,某件事发生的频率越低,我们就越有可能称该成就“更难”。 我欣然承认深奥数学的难度。

    您对统计数据的理解以及如何正确解释它们是缺乏温和的。 我鼓励人们访问 EdRealist 的网站,看看我在说什么。

    我们为什么不从头开始。 确切地说,“语言比数学难”是什么意思? 你的意思是说它是一个更好的智商预测指标吗? 你有什么证据? 当然,您不打算提供您的 GRE 职位作为佐证吗? 为什么首先提出来? 那么更多的轶事呢?

    我没有评论您对多项式的无知。 那是另一张海报。

  106. @国际犹太人
    吉姆

    您可能刚刚链接到 Wikipedia,但碰巧您对此感到困惑,它为我们提供了更有价值的贡献,这是该线程的一个更突出的主题。

    回复:@Jim

    我为在应该是“它的”而写“它的”而道歉。 我不知道维基百科对此有何评论。

  107. @庄园
    吉姆

    David Hume 会怀疑 1 + 1 = 2。或者 1 + 1 = 2 在所有情况下都有效。 它实际上并不完美地适用于任何现实世界的情况。
    如果你说它是真的,那么 1 + 1 = 2 是真的,即,重言式——数字代表什么,只是符号。

    回复:@Jim

    休谟在哪里表达了对 1 + 1 = 2 的怀疑? 数字不代表任何东西。 符号“1”代表数字 1。

    • 回复: @庄园
    吉姆

    “没有任何代数学家和数学家在他的科学中如此精通,以至于在他发现任何真理后立即对它充满信心,或者将其视为任何事物,而只是一种概率。”

    休谟论文,1.4.1.2

    1 + 1 = 2 看似不起眼,但肯定可以称得上是一个数学真理。

    回复:@gdpbull

  108. @塞内卡
    @卡尔G.

    我同意你的评论。 我在 Verbal GRE 和数学 GRE 上得了 780 分(都是 720 年之前的),我记得我在大学时在一些高级数学课程上遇到了一些障碍。 数学 GRE 分数虽然不是特别高,但还是很不错的。

    作为一名本科生,我可以遵循大多数证明的逻辑,例如康托尔定理,但作为一名本科生,我无法直观地理解和掌握这些更高层次的数学定理。 由于付出了巨大的努力,我在这些高级数学课程中的成绩很好,但我知道我没有天赋,而且我的理解水平开始碰壁。

    当你直觉地掌握和理解某事的能力最终碰壁时,这是一个令人谦卑的顿悟。 正如《肮脏的哈利》中的克林特·伊斯特伍德曾经说过的那样……“一个人必须了解自己的局限性。”

    高级数学不是很直观,除非你是很有天赋的 IMO。

    回复:@Jim

    是的,你是对的,直觉只能让你在数学上走这么远。 在某些时候,非常奇怪的事情开始发生。 我记得当我得知在 3 维和更高维度中存在可定向流形时,我感到很惊讶,其中两个方向类不同
    从彼此。 右边和左边不一样! 在这些流形中,n>=2 时有 CPn。 当上同调中的杯积可用时,一个简单的代数论证表明,当 n>=2 时,CPn 不承认任何反转同胚。 尽管代数论证很简单,但似乎没有直观的理由期待这一点。 相同的现象发生在维度 3 中的某些透镜空间中。当您将这些歧管粘合在一起时,您会得到不同的结果,具体取决于您在粘合之前如何定位它们。 像这样的事情不会在二维中发生。 当您将两个花托连接在一起制作椒盐脆饼时,无论您是从内部还是外部粘合都没有区别。 但是从二维情况中获得的直觉在更高维度上会产生误导。

  109. @颂歌
    小时候我擅长数学,但哦,我多么讨厌概念上的废话。 第一章中关于有理数和实数的所有犹豫……嗯。 直到我很好地处理数字之前,这没有任何意义。 我喜欢解决所有小问题,因为它们就像谜题或游戏。

    故事问题总是拖累。 在我上大学之前,我什至没有意识到我应该将它们翻译成公式。

    与年轻教师似乎认为如此有帮助的精心比喻相同。 只有当孩子已经理解了某些东西时,它们才有意义,而且通常只是把水弄得浑浊。

    回复:@Jim

    我是相反的。 我不擅长计算数学,但我喜欢概念性的东西。

  110. “事实是,我对数学家使用的多项式数学一无所知。”

    此时最好停止挖掘。

  111. @国际犹太人
    @约翰·德比郡

    感谢您直截了当地记录。 但是伽罗瓦确实应该得到更多的赞誉;-)

    回复:@John Derbyshire、@Jim、@Jim

    此外,拉格朗日在阿贝尔或伽罗瓦之前对根式解的存在性进行了非常深入的分析。 我不确定阿贝尔或伽罗瓦在多大程度上受到拉格朗日的影响,但是伽罗瓦理论中的很多思想都可以追溯到拉格朗日。

    当然,这三个人——拉格朗日、阿贝尔和伽罗瓦——都是非常伟大的数学家。

  112. @anonymous
    “你可能只是链接到维基百科,但碰巧你对它的困惑,它为我们提供了更有价值的贡献 什么,是一个更多 这个主题的突出主题。”


    伙计,就像,你句子中间的那个逗号是做什么的? 他们称之为某种运行或悬垂的sump'in? 接下来你知道你会像一个真正的工程师一样写工程师!

    回复:@International Jew

    是的,对不起,这是我的手机键盘与 Javascript 交互不佳。

    但是借用温斯顿丘吉尔的话,今天早上我重新启动了我的手机,而吉姆可能仍然不知道它是什么。

  113. 始于 1960 年代的所谓新数学的出现产生了一个有趣但尚未提及的结果,并产生了深远的影响。 这使得受过大学教育的父母更难帮助他们的孩子完成数学作业。 与此同时,教育水平较低的父母几乎不可能帮助他们的孩子。

    实际上,新数学使数学老师成为唯一拥有“密码”来破译数学练习的人。 这使得这些教师成为儿童数学教育的更有力的仲裁者,因为大多数父母,尤其是来自贫困家庭的父母,不再参与其中。

    我在公立小学教了 XNUMX 年,然后前往“更环保”的地方。 我发现给贫困家庭的孩子布置任何形式的家庭作业都是浪费时间,因为他们来自的家庭被噪音和普遍的混乱所困扰,以至于无法专注于家庭作业。 即使是智商高的孩子也很难做作业,因为电视总是开满音量,成人和儿童都在不断地试图通过大喊大叫来听到声音。 只需要外人访问一次就可以确定,期望在这样的氛围中完成作业是徒劳的。 与他们做得更好的同学不同,这些可怜的孩子没有一个可以隐居的单独卧室,以便在相对安静的情况下完成作业。 相反,这项工作很可能是在嘈杂的电视前完成的,而其他吵闹的孩子则出现在客厅里。 这有点像在疯人院学习。 第二天,这些孩子会简单地从教室里最聪明的孩子那里抄作业,然后再交给它。 这种抄袭是允许的,因为“动力不足”的孩子会威胁或贿赂聪明的孩子。

    解决困扰我们教育系统的所有教育问题的最便宜的方法就是简单地将上课时间延长到五六点。然后,较贫穷的孩子可以在相对安静的自习室中完成作业,这些自习室由教师助手监督,他们可以帮助他们完成任务。

    这个延长的上学日也将减少其他社会问题。 其中一个问题直接源于这样一个事实,即当西班牙裔父母都工作时,他们在大约 XNUMX 岁或 XNUMX 岁之后不为他们的孩子提供任何形式的托儿服务或监督。 放学后没有昂贵的芭蕾舞、钢琴或空手道课程,更适合父母分配他们的孩子以确保他们受到监督。 可怜的西班牙裔和黑人孩子在很小的时候就应该照顾好自己。 父母上班的时候。 他们最终在放学后四处游荡,制造了各种社会问题。

  114. 《黄金梦》改编自剧作家托马斯·德克尔的摇篮曲《摇篮曲》。 这首诗出现在 Dekker 1603 年的喜剧 Patient Grissel 中。 麦卡特尼在他父亲位于利物浦的家中看到了德克尔摇篮曲的乐谱,这是他的继妹露丝留在钢琴上的。 由于无法阅读音乐,他创作了自己的音乐。

    我的印象是,虽然麦卡特尼缺乏音乐素养,但他的计算能力却相当出色,他可能会毫不犹豫地告诉你他每年在“黄金梦”中获得的税后版税,以及在保罗摔跤之前,洋子从他的歌中赚了多少钱权利归还。”

    顺便说一句,McCartney 的父亲本身就是一名爵士音乐家,并且在 20 年代和 30 年代初有自己的本地小乐队,所以保罗自然是靠音乐天赋来的。

  115. 吉姆
    @庄园

    休谟在哪里表达了对 1 + 1 = 2 的怀疑? 数字不代表任何东西。 符号“1”代表数字 1。

    回复:@Hacienda

    “没有一个代数学家和数学家在他的科学中如此专家,以至于在他发现任何真理后立即对它充满信心,或者将其视为任何事物,而只是一种概率。 ”

    休谟论文,1.4.1.2

    1 + 1 = 2 看似不起眼,但肯定可以称得上是一个数学真理。

    • 回复: @gdpbull
    @庄园

    世界上有10种人。 懂二进制的和不懂二进制的

  116. 许多非常称职的数学家不能在他们的头脑中快速地完成算术运算。 数学远不止这些。 一个人甚至可以是一个缓慢但彻底的思考者,并且是一个非常好的数学家。 深刻的洞察力不需要敏捷的头脑。 一个优秀的数学家首先意识到非线性关系可以挑战肤浅的洞察力,他们很快就会学习和理解定理证明逻辑的力量。

  117. @庄园
    吉姆

    “没有任何代数学家和数学家在他的科学中如此精通,以至于在他发现任何真理后立即对它充满信心,或者将其视为任何事物,而只是一种概率。”

    休谟论文,1.4.1.2

    1 + 1 = 2 看似不起眼,但肯定可以称得上是一个数学真理。

    回复:@gdpbull

    世界上有10种人。 懂二进制的和不懂二进制的

  118. 神秘的地下室幽默。 1100100% 大声笑。

  119. “‘语言比数学更难’是什么意思? 你的意思是说它是一个更好的智商预测指标吗? 你有什么证据? 当然,您不打算提供您的 GRE 职位作为佐证吗? 为什么首先提出来? 那么更多的轶事呢? ”

    1)高语言能力比高数学能力少,我们在作为智商代理的测试中衡量它的方式。 这显然是正确的; GRE 和旧的 SAT 都被接受为智商的代表,并且两者的数学分数都远高于口语。 我不认为我在帖子中说“更难”。 我只是把评论删掉了。 2) 没有。 3) 没有,因为我没有断言。 4) No. 5) 因为我认为人们会对不同的频率水平感兴趣。 6)我在帖子中链接,因为它有关于相对难度的数据,以分数分布表示,智商代理。

    我根本没有称呼“你”。 我只是引用了我想回应的引文。 其中两个恰好是你的。

    • 回复: @卡尔G.
    @教育现实主义者


    1)高语言能力比高数学能力少,我们在作为智商代理的测试中衡量它的方式。 这显然是正确的; GRE 和旧的 SAT 都被接受为智商的代表,并且两者的数学分数都远高于口语。 我不认为我在帖子中说“更难”。 我只是把评论删掉了。 2) 没有。 3) 没有,因为我没有断言。 4) No. 5) 因为我认为人们会对不同的频率水平感兴趣。 6)我在帖子中链接,因为它有关于相对难度的数据,以分数分布表示,智商代理。
     
    这些测试的分布在口头上比数学上更广泛。 所以呢? 我在上一篇文章中解释了为什么您的结论不一定正确; 不过我会再试一次。 GRE 和 SAT 可以很好地代表智商,但我们可以得出的结论存在局限性。 这是一个简单的例子,低天花板不能准确地反映数学学生曲线的最右端。 GRE 800 分的数学分数告诉招生委员会该学生具备基础数学能力,仅此而已。 我认为 780 是一个好的数学、物理或工程研究生课程的必要条件。 ETS 可以创建另一个部分,旨在区分数学能力前 0.1% 和 2% 的应试者,但由于多种原因,这是不切实际的,其中至少 95% 的应试者会找到大部分问题难以理解。

    如果 ETS 让语言部分更容易而数学部分更难呢? 各自的分布会缩小和扩大,但假设新结果揭示了一般语言和数学技能潜在的内在困难的任何事情是短视的。
    这很容易理解。 如果你没有得到它,那么你就没有得到它。
  120. 如果你真的很擅长数学,你可以为秘密政府工作并制造非常酷的武器。

  121. @教育现实主义者
    “'语言比数学更难'是什么意思?你的意思是说它是一个更好的智商预测指标吗?你有什么证据?当然,你不打算提供你的 GRE 帖子作为佐证?为什么“

    1)高语言能力比高数学能力少,我们在作为智商代理的测试中衡量它的方式。 这显然是正确的; GRE 和旧的 SAT 都被接受为智商的代表,并且两者的数学分数都远高于口语。 我不认为我在帖子中说“更难”。 我只是把评论删掉了。 2) 没有。 3) 没有,因为我没有断言。 4) No. 5) 因为我认为人们会对不同的频率水平感兴趣。 6)我在帖子中链接,因为它有关于相对难度的数据,以分数分布表示,智商代理。

    我根本没有称呼“你”。 我只是引用了我想回应的引文。 其中两个恰好是你的。

    回复:@Carl G。

    1)高语言能力比高数学能力少,我们在作为智商代理的测试中衡量它的方式。 这显然是正确的; GRE 和旧的 SAT 都被接受为智商的代表,并且两者的数学分数都远高于口语。 我不认为我在帖子中说“更难”。 我只是把评论删掉了。 2) 没有。 3) 没有,因为我没有断言。 4) No. 5) 因为我认为人们会对不同的频率水平感兴趣。 6)我在帖子中链接,因为它有关于相对难度的数据,以分数分布表示,智商代理。

    这些测试的分布在口头上比数学上更广泛。 所以呢? 我在上一篇文章中解释了为什么您的结论不一定正确; 不过我会再试一次。 GRE 和 SAT 可以很好地代表智商,但我们可以得出的结论存在局限性。 这是一个简单的例子,低天花板不能准确地反映数学学生曲线的最右端。 GRE 800 分的数学分数告诉招生委员会该学生具备基础数学能力,仅此而已。 我认为 780 是一个好的数学、物理或工程研究生课程的必要条件。 ETS 可以创建另一个部分,旨在区分数学能力前 0.1% 和 2% 的应试者,但由于多种原因,这是不切实际的,其中至少 95% 的应试者会找到大部分问题难以理解。

    如果 ETS 让语言部分更容易而数学部分更难呢? 各自的分布会缩小和扩大,但假设新结果揭示了一般语言和数学技能潜在的内在困难的任何事情是短视的。
    这很容易理解。 如果你没有得到它,那么你就没有得到它。

  122. 如果 GRE 和 SAT 使用国际数学奥林匹克竞赛中的数学题,你的数学题会比口头部分更难。

    对于那些从表面上的简单观察得出结论的人,你知道你的心理局限。

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