在数学最偏远的地区，远离繁华和长期人口稠密的中心，在这个繁荣的帝国与被风吹拂的哲学荒地毗邻的地方，是一个名为基础的话题。 在这里，数学家使用他们学科的技术来探究该学科本身的性质，探究数学的基本原理：数、集合、证明和矛盾。 基础的思想可以追溯到莱布尼茨和笛卡尔，但作为一个连贯的研究主题，它是相当新的，只是从朱塞佩·皮亚诺在 1890 年代的工作开始。

直到今天，Foundations 中最轰动的成就仍然是 1931 年的论文“On Formally Undecidable Propositions of the Principia Mathematica 和相关系统”，奥地利人库尔特·哥德尔。 在那篇论文中，哥德尔突然结束了《基础》中严格形式主义的程序——该程序将数学简化为一个无内容的游戏，其中任意符号根据任意规则组合在一起。 Principia Mathematica 是《基金会》的早期伟大著作之一。 其作者之一伯特兰·罗素曾宣称：“数学是一门我们不知道我们在说什么，也不知道我们说的是不是真的的学科。” 那是形式主义的基调； 那是被哥德尔的伟大论文打破的数学概念。 多亏了哥德尔，我们现在知道了——有了数学上的确定性！ ——任何将数学简化为纯粹形式主义的尝试都必须失败，就像梳理覆盖着头发的球体的尝试必须始终留下一个“螺纹点”，在那里梳理会崩溃到不可预测的状态。

事实上，正如 Rebecca Goldstein 在 不完整, 哥德尔的论文“与海森堡的测不准原理和爱因斯坦的相对论一起，是 20 世纪理论大灾难的第三站，这些大灾难被认为在‘精确科学’的基础上造成了深刻的干扰”。 她接着说，那篇论文中的结果“远远超出了他们狭隘的正式领域，解决了诸如真理、知识和确定性的本质等广泛而混乱的问题。”

最后一个断言是有待商榷的。 有些哲学家会否认哥德尔的结果对认识论（即知识的哲学理论）有任何影响。 但是，如果这一点值得商榷，那么丽贝卡·戈德斯坦就是争论它的人。 哈特福德三一学院哲学教授，多部小说和短篇小说集的作者，戈德斯坦一直对她的小说、真理的本质以及思想、语言之间的联系有着长期的兴趣。 ，以及外部世界。 在这本新书中，她对库尔特·哥德尔、他的影响、他的生活以及 1931 年那篇令人惊叹的论文的内容进行了论述。

不完整 是一本很难分类的书。 这并不是一本真正的传记，尽管它包含了对哥德尔相当平静的生活和高度奇特的个性的充分描述。 （1997 年出版的标准传记由约翰·W·道森（John W. Dawson）撰写。哥德尔的日期是 1906-1978 年。）它也不仅仅是对哥德尔 1931 年结果的大众化描述，尽管该结果的草图和哥德尔用来证明它的方法已经包括了。 戈尔茨坦宁愿使用哥德尔作为框架，在上面挂上一些关于认识论和相关问题的评论。

她最关心的是数学真理的本质。 一个数学家说这样那样一个命题是真的是什么意思？ 20 世纪初的严格形式主义者会回答：他的意思只是命题可以通过商定的演绎规则从商定的公理推导出来。 借用逻辑学家马丁戴维斯的一句话，这就是哥德尔推翻的苹果车。 哥德尔是坚定的柏拉图主义者，他相信数学对象虽然不属于物理世界，但仍然具有我们可以“信任”的现实，就像我们“信任”我们的感官所说的一样我们关于物理对象。 他写了：

我看不出有什么理由让我们对这种知觉（即数学直觉）的信心不如对感官知觉的信心，这促使我们建立物理理论并期望未来的感官知觉会与它们一致，并且，此外，相信一个现在无法决定的问题是有意义的，并且可能在未来被决定。

这种清晰的柏拉图主义使哥德尔与他那个时代最重要的数学家大卫希尔伯特产生了分歧，大卫希尔伯特写道：“数学是一种根据某些简单规则进行的游戏，在纸上留下毫无意义的标记。” 在 1900 年的一次具有里程碑意义的演讲中，希尔伯特提出了 23 个数学家在新世纪集中研究的问题。 问题 #2 是证明算术规则，正确表述，足以证明每一个可以想象的算术陈述是真还是假。 希尔伯特随后启动了一个形式主义程序，设计了一种通过他称之为“元数学”的技术来研究数学证明性质的方法。 哥德尔将这些相同的技术用于反对形式主义程序，并暴露了其固有的局限性。

事实上，哥德尔的柏拉图主义违背了他那个时代的所有主要思想潮流，不仅在数学方面，而且在哲学和物理学方面。 从 1926 年到 1928 年，哥德尔是维也纳学派每周例会的常客，这是一个由哲学家莫里茨·施利克领导的讨论小组。 哥德尔已经是柏拉图主义者了，他一定发现圆的激进经验主义不合时宜。 正如戈德斯坦所说：“他与他们的元信念完全不一致。” 他为什么坚持了这么久，这是一个谜。 路德维希·维特根斯坦 (Ludwig Wittgenstein) 是圈子的英雄（尽管他拒绝了加入的邀请），戈尔茨坦有一些非常有趣的事情要说，关于维特根斯坦的“不可言说”和哥德尔的“不可判定”之间的相似之处。

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与物理学的联系更加有趣。 任何时候都足以令人震惊，就像哥德尔所做的那样，数学对象拥有独立于人类思想的真实存在。 当固体物体的物理世界本身正在蒸发成一团量子理论的抽象云时，这种说法是加倍的。 哥德尔时代的著名物理学家——尤其是维尔纳·海森堡——否认存在任何独立于观察者的真实世界。 哥德尔于 1924 年进入维也纳大学的第一个目标是学习物理学，并且他一生都对该学科保持着浓厚的兴趣。 阿尔伯特·爱因斯坦是他最亲密的朋友，他们两人在 1940 年代和 1950 年代初一起度过了许多小时，在普林斯顿高等研究院周围的小巷和小路上漫步，他们都在那里工作。 戈德斯坦的书特别阐明了这两位天才之间的友谊，以及他们对否认客观性的共同厌恶，无论是物理的还是数学的，都是他们那个时代的特征——这种思想后来渗透到人文学科和美术中，用“后现代主义”的荒谬毒害他们。

不完整 是一本很难的书，但并非没有必要。 这是困难的材料，处于我们对人类知识的理解的边界。 作者通过向我们展示哥德尔、维特根斯坦和爱因斯坦的工作、他们的友谊和他们的分歧，巧妙地将其人性化。 也许只有小说家才能做到这一点。 无论如何，丽贝卡·戈德斯坦 (Rebecca Goldstein) 做得非常好。