众所周知，我们的宇宙具有三个维度的空间。 想象一下它只有两个，就像 EA Abbott 的一样 平原， 或 AK 杜德尼 平面宇宙。 它可能有什么形状？ 嗯，它可能是平的，就像无限桌面上的无限张纸； 或者它可能像球体表面一样自行弯曲，具有确定的、有限的面积。 它也可能是数学家可以告诉你的一系列其他形状中的任何一种，有些面积有限，有些面积无限。

作为二维生物，困在那个宇宙中，无法从外部观察它，我们如何推断它的形状？ 第一步是发展一个良好的、稳健的二维空间数学理论，包括平面、球面和所有其他空间。 这同样适用于我们的三维宇宙。 为了找出它的形状，我们首先需要一个通用的、抽象的三维空间数学理论。

这个理论是多纳尔·奥谢新书的主题， 庞加莱猜想。 “空间”这个词实际上属于物理学。 用于对空间进行建模的抽象数学对象称为“流形”。 这个词是由伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）带入数学的，他是有史以来最富有想象力的数学家之一。 在 1854 年的一场轰动一时的演讲中，黎曼阐述了研究任意维流形的关键原理，这让高斯本人都惊呆了。 他展示了如何研究流形，而不是从“外部”，即嵌入更高维度空间的成形物体，而是从 在空间本身内。 黎曼的卓越洞察力为后来的一切奠定了基础。

亨利·庞加莱 (Henri Poincaré) 在那次讲座前六周出生于法国的一个上流资产阶级家庭。 （第一次世界大战期间的法国总统雷蒙·庞加莱是他的表弟。）作为 19 世纪末的一位成熟的数学家，他在黎曼的基础上进行了创造——“几乎是凭一己之力”，O 先生说。 'Shea — 称为“代数拓扑”的数学主题，它包含流形的局部属性（它在任何点附近的平坦程度或弯曲程度）和全局属性（例如，它是有限还是无限，以及是否有“甜甜圈洞”）。

庞加莱的工作在 1895 年至 1904 年间发表的六篇论文中得到了介绍。在最后一篇论文的结尾附近出现了这样的评论：

还有一个问题需要处理：流形的基本群是否有可能是恒等式，但流形可能与三维球面不同胚？ ……但是这个问题会让我们离得太远。

这个“一个问题”因庞加莱猜想而闻名。 整个20世纪，数学家们都在努力解决这个问题。 1961年，史蒂芬·斯梅尔（Stephen Smale）解决了五个或更多维度的等效猜想（这是不可能的）。 1982 年，Michael Freedman 对四个维度做了同样的事情（相同的答案）。 然而，庞加莱三维流形的情况——用于建模我们的三维空间的流形——仍然悬而未决。

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然后，在 2002 年 3 月发表的三篇论文中，古怪的俄罗斯数学家 Grigory Perelman 声称已经解决了庞加莱的三维情况。 全世界的数学家花了两年时间才确信佩雷尔曼先生的推理是正确的。 2006 年，他们授予他令人垂涎的菲尔兹奖，但隐居的佩雷尔曼先生拒绝了。 他似乎也没有兴趣获得克莱研究所为解决这一猜想而颁发的 1 万美元奖金。 他和母亲安静地住在圣彼得堡的公寓里，可能已经完全放弃了数学。

多纳尔·奥谢在本书中讲述了整个故事，巧妙地将他的主题与有关我们星球和宇宙的思想史交织在一起。 对所有涉及的主要人物都有很好的报道，每个人都以他那个时代的社会和学术背景为背景。 作者尽最大努力让数学变得容易理解。 即使对于专业人士来说，更奇怪的三维流形也不容易可视化，但奥谢先生提供了一些有用的类比。

那么，什么 is 我们宇宙的形状？ 庞加莱猜想 在这一点上没什么可说的。 这是完全公平的，因为目前我们知之甚少（尽管有充分的科学理由对无限空间抱有偏见）。 在我们探索的这个阶段，重要的是填补我们对三维流形所有数学抽象的理解空白，以便我们有一系列易于理解的数学模型可供借鉴。 庞加莱猜想的解决填补了最重要的空白之一。 格里戈里·佩雷尔曼值得我们感激，无论他是否愿意。