每天早上我都会坐在一张白纸前。 一整天，午饭时间很短，我都会盯着空白的纸。 通常到了晚上，它仍然是空的……[T]1903 年和 1904 年的两个夏天在我的脑海中仍然是完全智力僵局的时期……[我]似乎很可能会耗尽我的余生看着那张白纸。

那是伯特兰·罗素的自传。 难倒他的是试图从纯逻辑的角度找到“数字”的定义。 例如，“三”实际上是什么意思？ 德国逻辑学家戈特洛布·弗雷格 (Gottlob Frege) 给出了一个答案：“三”只是所有三人一组的集合，所有成员可以与拉里、卷毛和萌完全配对的集合的集合。

但是，如果“具有给定性质的所有集合的集合”这个概念可以像弗雷格那样随意使用，那么我们就可以构造集合 W 所有不是它们自己成员的集合。 所有海龟的集合不是它自己的成员，因为它是一个集合，而不是海龟。 因此，它是 W. 但是可以用不到一百个词来定义的所有事物的集合是其自身的成员，因此不是 W. 现在提出问题：是 W 的成员 W? 如果是，根据定义，它不是； 如果不是，那就是。 这个矛盾被命名为“罗素的二律背反”，直到找到解决办法之前，弗雷格和罗素所从事的事业——从逻辑中推导出数学——已经泡汤了。

如果你在那些沮丧的夏天问罗素，他的困惑是否有可能导致任何实际应用，他会大笑起来。 这是最纯粹的纯粹智力，以至于即使是受过训练的纯数学家罗素也发现自己想知道重点是什么：“一个成年人将时间花在这些琐碎的事情上似乎不值得......”我们几乎可以告诉无私的询问会导致什么！ 事实上，罗素的工作带来了 Principia Mathematica，这是现代最奇怪和最出人意料的企业之一的关键进步。 到目前为止，这项事业的成果包括在第二次世界大战中取得胜利（或者无论如何，以比其他方式可能获得的成本更低的成本取得胜利）以及像我正在撰写这篇评论的机器这样的机器。

通用计算机 分八章讲述这个故事，每一章都集中在故事中的一个关键人物：莱布尼茨、布尔、弗雷格、康托尔、希尔伯特、哥德尔、图灵和冯诺依曼。 任何受过教育的人都会熟悉其中一些名字； 有些人甚至逃到了更大的文化中。 图灵是休·惠特莫尔（Hugh Whitmore）相当出色的剧本的主题 打破密码 (1986)。 他和哥德尔都出现在 Apostolos Doxiadis 1992 年的小说中 彼得罗斯叔叔和哥德巴赫猜想，其中英文译本于去年出版，取得了相当大的成功。

这本书的优势在于它追溯了从莱布尼茨早期尝试进行命题演算一直到我们这个时代的存储程序计算机的连续事件链。 向后遵循存储程序的概念：由约翰·冯·诺依曼 (John von Neumann) 开发，它基于这样一种思想：代码（告诉计算机如何操作的指令）和数据（要执行的操作）可以仅表示为在计算机的内存中也是如此。

冯诺依曼从图灵那里得到了这个想法，他想象中的“图灵机”将指令和数据都编码为任意数字。 这反过来又跟随哥德尔，他能够通过为符号分配数字来证明有关符号逻辑的重要定理。 图灵和哥德尔都受到希尔伯特计划的启发，该计划将逻辑和数学包含在一个共同的象征中，比 Principia Mathematica. 毕竟，罗素是偶然发现了弗雷格系统中的矛盾。 谁能确定没有类似的矛盾潜伏在 原理？ 需要一些更严格的方法来审查由符号系统产生的命题。 希尔伯特开发了这样一种方法，他称之为“元数学”。

原理，正如我上面提到的，是为了完成弗雷格已经开始的工作，即从逻辑中推导出数学。 罗素和弗雷格都采用康托的集合论来定义数，罗素正是通过考虑康托在无穷集合上的工作，才发现了弗雷格系统中那些致命的矛盾。 弗雷格试图消除布尔工作中固有的循环性：如果正如弗雷格所相信的那样，数学源自逻辑，那么你如何像布尔声称的那样将逻辑简化为应用数学的一个分支？ 布尔似乎没有意识到莱布尼茨的零碎研究，这些研究当时都没有发表，并且可以很荣幸地为逻辑学科注入新的活力。

现在有很多书籍试图向一般受过教育的公众解释高级数学思想。 这是一个崇高的事业，但我不禁想知道那些买来的书有多少是完成的。 戴维斯是一位相当优秀的作家，半个多世纪以来一直密切关注这个话题。 他对材料尽了最大的努力，但仍有部分读者需要纸和笔来理解论点。 可能是理想的读者 通用计算机 会是一个在大学时对现代逻辑略有了解的人，并希望刷新自己的理解并填补一些空白。

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作者最无力解释希尔伯特的元数学。 例如，我怀疑非专业读者是否能够理解哥德尔在 1930 年证明的完整性与阿朗佐·丘奇在 1936 年证明的可判定性之间的区别。作为补偿，有一个很好的希尔伯特轶事，尽管不是我最喜欢的。 （我最喜欢的一个：希尔伯特最好的学生突然去世，家人要求希尔伯特在墓边悼念。适时，希尔伯特走上坟墓，为周围的亲戚哭泣，开始说：“某某的死是一场可怕的损失。在他被我们带走的时候，他正在开发一些强大的新技术来处理函数论中的问题。例如，考虑一个单值函数 f, 在某个有界开集上亚纯 S，……”）

从本质上讲，计算机只是布尔计算出的逻辑代数电子电路中的一个实例。 由于逻辑是演绎推理的系统化，演绎推理是大脑的一种活动，因此不可抗拒地出现了一个问题：计算机所做的与人脑所做的有多相似？ 我们都知道，除了演绎推理，大脑还可以做很多其他的事情。 它可以识别一张脸，看到一个笑话的重点，更喜欢一个政党，形成对数理逻辑书的看法。 委婉地说，经过四十年的努力，迄今为止，通过算法复制这些过程的尝试并不是很令人满意。 这是因为它们与计算机所做的事情在种类上不同吗？ 或者它们只是非常复杂？

这些问题引起了约翰·冯·诺依曼的极大兴趣，他是一位才华横溢的天才，也是最有资格声称发明了现代计算机的人。 电脑与大脑 是冯诺依曼应耶鲁大学邀请准备的一些讲座的文本。 可悲的是，讲座从未发表。 邀请是在 1955 年初收到的，讲座将于次年春天举行。 然而，在 1955 年 1956 月，冯诺依曼被诊断出患有骨癌。 到 53 年初，他已经完全残疾。 他于次年二月去世，享年 XNUMX 岁。

开业时 电脑与大脑，我希望找到它“仅具有历史意义”（正如我自己的一位教授曾经相当高尚地说 Principia Mathematica）。 相反，这本书充满了深刻的见解，除了极少数专家外，还没有被任何人内化。 例如：

还应该指出的是，神经系统中使用的信息系统……本质上具有统计特征。 换句话说，重要的不是确定标记的精确位置……而是它们出现的统计特征……[T]his 导致较低水平的算术精度，但导致较高水平的逻辑可靠性......

这就是为什么我们在识别人脸方面比十位数相乘要好得多，而计算机则相反。 从亚原子物理学到遗传学，XNUMX 世纪科学的启示之一是，世界是一个非常统计的地方。 我们这个时代的大多数伟大真理都最好用概率来表达。 这需要一些时间来适应——事实上，我们大多数人仍然不习惯。

每个人都知道数学家到了三十岁就会筋疲力尽。 就像每个人都知道的许多事情一样，事实并非如此：德布兰奇斯在证明比伯巴赫猜想的真相时，他 52 岁，该猜想困扰了最优秀的头脑 70 年。 冯·诺依曼最后的这些论文展示了他死时的思想力量和丰富性，让我们不禁想知道如果他过着正常的寿命，他还能给我们带来什么。 Si 纪念碑需要，环境.